NOIP2018提高组.货币系统

题目

532. 货币系统

思路

关键找到性质, 在最优解˙中每一个 b i ∈ { a 1 , a 2 , . . . , a n } b_i \in \left \{ a_1, a_2, ..., a_n \right \} bi​∈{a1​,a2​,...,an​}每一个$b_i$必然和某一个$a$相等

为什么是成立的?
反证法, 假设存在一个$b_i$和每一个$a$都不相等, $b_i$可以有最优解表示出来, 由于最优解集合与原集合等价, 因此也可以使用$a_i$表示出来

表示为如上形式, 因为$b_i$不等于$a_i$, 因此$t_1+t_2+...+t_n\ge 2$, 每一个$a$可以由若干个$b$凑出来, 因此可以将$a$转化为$b$的表示形式

因此可以将$b_i$表示为

$$b_1{r}_1+b_2{r}_2+...+b_n{r}_n$$

也就有
$$b_1{r}_1+b_2{r}_2+...+b_n{r}_n\ge t_1+t_2+...+t_n\ge 2$$

也就是$b_i$可以被$b$集合的其他数字表示, 也就不是最优解, 矛盾, 因此最优解 b i ∈ { a 1 , a 2 , . . . , a n } b_i \in \left \{ a_1, a_2, ..., a_n \right \} bi​∈{a1​,a2​,...,an​}, 也就是每一个$b_i$必然属于某一个$a_i$

将原集合进行从小到大排序, 对于没个位置检查能否被前面的面额表示出来, 如果可以不选择, 否则选择, 也就是完全背包问题

*超时代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>

using namespace std;

const int N = 110, M = 25010;

int n, w[N];

bool check(int val, vector<int> &w) {
	bool f[M] = {0};
	f[0] = true;

	for (int i = 1; i < w.size(); ++i) {
		for (int j = w[i]; j <= val; ++j) {
			f[j] |= f[j - w[i]];
		}
	}

	return f[val];
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0), cout.tie(0);

	int T;
	cin >> T;

	while (T--) {
		cin >> n;
		for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> w[i];

		sort(w + 1, w + n + 1);
		vector<int> ans{0};

		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			if (check(w[i], ans)) continue;
			ans.push_back(w[i]);
		}

		cout << ans.size() - 1 << "\n";
	}

	return 0;
}

$AC$代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>

using namespace std;

const int N = 110, M = 25010;

int n, w[N];
bool f[M];

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0), cout.tie(0);

	int T;
	cin >> T;

	while (T--) {
		cin >> n;
		for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> w[i];

		sort(w + 1, w + n + 1);
		memset(f, 0, sizeof f);
		f[0] = true;

		int res = 0;
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			if (f[w[i]]) continue;
			res++;
			for (int j = w[i]; j <= w[n]; ++j) f[j] |= f[j - w[i]];
		}

		cout << res << "\n";
	}

	return 0;
}