dp基础之双序列型最短编辑距离Edit Distance

最新推荐文章于 2024-08-15 13:39:06 发布

lerry13579

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分类专栏：动态规划专解文章标签：算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/lerry13579/article/details/84586372

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本文介绍了如何计算两个字符串之间的最小编辑距离，包括增加、删除和替换三种操作，并通过案例解释了问题分析和转移方程，最后提到了时间复杂度和空间复杂度的优化。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题：给定连个字符串A、B,要求把A变成B,可以进行如下操作，问最少的操作次数可以使A变成B，即最小编辑距离?
操作：增加（插入）、删、替换
例：
A = ['m','a','r','t'],B = ['k','a','r','m','a']
输出：3（m换成k,t换成m,加上a）

问题分析：设m = len(A),n = len(B),我们考虑最后，操作完成后，A的长度也变成n,A[n-1] = B[n-1]
最优策略是让A[0,...,n-1]变成B[0,..,n-1],让A的最后一个字符变成B的最后一个字符，我们单向考虑，从A-->B，有：
case1:增加，A在最后插入B[n-1],则我们接下来要考虑的是如何把A[0,..,m-1]变成B[0,..,n-2]
case2:替换，A的最后一个字符替换成B[n-1],则考虑如何把A[0,..,m-2]变成B[0,..,n-2]
case3：删除，A删掉最后一个字符，则考虑如何把A[0,..,m-2]变成B[0,..,n-1]
case4:不变，A[n-1] = B[n-1]，则考虑如何把A[0,..,m-2]变成B[0,..,n-2]
子问题：
要求A[0,...,n-1]变成B[0,..,n-1]的最小编辑距离，现在分别要求A[0,..,m-1]变成B[0,..,n-2]、
A[0,..,m-2]变成B[0,..,n-2]、A[0,..,m-2]变成B[0,..,n-1]的最小编辑距离。
转移方程：设f[i][j]表示A的前i个字符变成B的前j个字符的最小编辑距离，
f[i][j] = min{f[i][j-1]+1,f[i-1][j-1]+1,f[i-1][j]+1,f[i-1][j-1]|A[i-1] = B[j-1]}
min{ case1 , case2 , case3 , case4 }
初始情况：
f[0][j] = j[(j = 0,...,n)
f[i][0] = i(i = 0,...,m)
计算顺序：
f[0][0]...f[0][n]
.
.
.
f[m][0]...f[m][n]
答案：f[m][n]
时间复杂度O（mn）,空间复杂度O(mn)，同样可以优化到O(n)

代码及注释如下：

def edit_dis(A,B):
    m,n = len(A),len(B)
    f = [[0 for i in range(n+1)] for j in range(m+1)]
    for i in range(m+1):
        for j in range(n+1):
            if i == 0:
                f[i][j] = j
                continue
            if j == 0 :
                f[i][j] = i
                continue
            # f[i][j] = min{f[i][j-1]+1,f[i-1][j-1]+1,f[i-1][j]+1,f[i-1][j-1]|A[i-1] = B[j-1]}
            # min{   case1增加   ,     case2 替换,       case3 删除,       }
            f[i][j] = min(f[i][j-1]+1 , f[i-1][j-1]+1 , f[i-1][j]+1)
            #case4 不变
            if A[i-1]  == B[j-1]:
                f[i][j] = min(f[i][j] , f[i-1][j-1])
    return f[m][n]
A = ['m','a','r','t']
B = ['k','a','r','m','a']
print(edit_dis(A,B))
#答案：3

优化空间后的代码：只要把上述代码里的i改成old,i-1改成new即可，

def edit_dis(A,B):
    m,n = len(A),len(B)
    #只需开两行
    f = [[0 for i in range(n+1)] for j in range(2)]
    old,new= 0,1
    for i in range(m+1):
        old,new = new,old
        for j in range(n+1):
            if i == 0:
                f[new][j] = j
                continue
            if j == 0 :
                f[new][j] = i
                continue
            # f[i][j] = min{f[i][j-1]+1,f[i-1][j-1]+1,f[i-1][j]+1,f[i-1][j-1]|A[i-1] = B[j-1]}
            # min{   case1增加   ,     case2 替换,       case3 删除,       }
            f[new][j] = min(f[new][j-1]+1 , f[old][j-1]+1 , f[old][j]+1)
            #case4 不变
            if A[i-1]  == B[j-1]:
                f[new][j] = min(f[new][j] , f[old][j-1])
    return f[new][n]
A = ['m','a','r','t']
B = ['k','a','r','m','a']
print(edit_dis(A,B))
#答案：3