Nim游戏与取火柴问题
Nim游戏是博弈论中最经典的模型(之一),它又有着十分简单的规则和无比优美的结论 Nim游戏是组合游戏(Combinatorial Games)的一种,准确来说,属于“Impartial Combinatorial Games”(以下简称ICG)
条件
满足以下条件的游戏是ICG(可能不太严谨):1、有两名选手;2、两名选手交替对游戏进行移动(move),每次一步,选手可以在(一般而言)有限的合法移动集合中任选一种进行移动;3、对于游戏的任何一种可能的局面,合法的移动集合只取决于这个局面本身,不取决于轮到哪名选手操作、以前的任何操作、骰子的点数或者其它什么因素; 4、如果轮到某名选手移动,且这个局面的合法的移动集合为空(也就是说此时无法进行移动),则这名选手负。根据这个定义,很多日常的游戏并非ICG。例如象棋就不满足条件3,因为红方只能移动红子,黑方只能移动黑子,合法的移动集合取决于轮到哪名选手操作。定义
通常的Nim游戏的定义是这样的:有若干堆石子,每堆石子的数量都是有限的,合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗(不能不拿)”,如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了,则判负(因为他此刻没有任何合法的移动)。 这游戏看上去有点复杂,先从简单情况开始研究吧。如果轮到你的时候,只剩下一堆石子,那么此时的必胜策略肯定是把这堆石子全部拿完一颗也不给对手剩,然后对手就输了。如果剩下两堆不相等的石子,必胜策略是通过取多的一堆的石子将两堆石子变得相等,以后如果对手在某一堆里拿若干颗,你就可以在另一堆中拿同样多的颗数,直至胜利。如果你面对的是两堆相等的石子,那么此时你是没有任何必胜策略的,反而对手可以遵循上面的策略保证必胜。如果是三堆石子……好像已经很难分析了,看来我们必须要借助一些其它好用的(最好是程式化的)分析方法了,或者说,我们最好能够设计出一种在有必胜策略时就能找到必胜策略的算法。 定义P-position和N-position,其中P代表Previous,N代表Next。直观的说,上一次move的人有必胜策略的局面是P-position,也就是“后手可保证必胜”或者“先手必败”,现在轮到move的人有必胜策略的局面是N-position,也就是“先手可保证必胜”。更严谨的定义是:1.无法进行任何移动的局面(也就是terminal position)是P-position;2.可以移动到P-position的局面是N-position;3.所有移动都导致N-position的局面是P-position。
按照这个定义,如果局面不可能重现,或者说positions的集合可以进行拓扑排序,那么每个position或者是P-p