[ZZ]如何判断有向图是否成环

 

如何判断有向图是否成环

原文链接：http://blog.youkuaiyun.com/nomad2/archive/2007/04/10/1559664.aspx

(1)如何判断一个图是不是含有环？

a. DFS，出现返回边则有环。

b. 拓扑排序，若所有的顶点都出现在拓扑排序中，则不出现环。

（2）拓扑排序

a.什么是偏序，全序？from:

http://www.programfan.com/club/showbbs.asp?id=221968

偏序是由实数中的>=和<=抽象出来的
在一个集合F中定义一个比较关系, 这个关系不要求任意两个元素都能比较
这个关系可以任意定义,记为< , 但是定义的关系要满足以下3个条件
1) 任意a属于F,有a < a;               ...说明元素自己可以和自己比较
2) 如果a和b能比较 且a < b, b和c能比较,且 b < c
   那么a和c就能比较,且a < c          ...说明比较关系具有传递性
3) 如果a和b能比较,且a < b, b < a, 那么a = b 
定义的这种满足以上3条公理的比较关系就叫偏序,和所在的集合记为( F, < )

全序首先是偏序,但是比偏序多一个要求:集合中的任意两个元素都是可比的。

b.拓扑排序：

由偏序定义得到拓扑有序的操作便是拓扑排序（topological order）。

算法：

(1) 在有向图中选一个没有前驱的顶点输出。

(2) 从图中删除该定点和所有以它为尾的弧。

(3) 重复前两步，直至所有节点都输出，或当前图中不存在无前驱的节点（存在环）。

图采用邻接表实现，头文件代码如下：

#define MAX_VERTEX_NUM 20

typedef int InfoType;
typedef char VertexType;

typedef enum  {DG, DN, UDG, UDN} GraphKind;

typedef struct ArcNode {
    int adjvex;
    struct ArcNode *next;
    InfoType info;
}ArcNode;

typedef struct VNode {
    int in_degree;
    VertexType data;
    ArcNode *firstarc;
}VNode, AdjList[MAX_VERTEX_NUM];

typedef struct  {
    AdjList vertex;
    int vexnum, arcnum;
    GraphKind kind;
}algraph;

源文件代码：

#include "algraph_topo.h"

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"

void createDN(algraph &g) {}
void createUDN(algraph &g) {}
void createUDG(algraph &g) {}

//locate the name vertice's index
int locate(algraph g, char name) {
    for(int i = 0; i < g.vexnum; i++){
        if(name == g.vertex[i].data){
            return i;
        }
    }
    return -1;
}

void createDG(algraph &g) {
    printf("input the number of vertex and arcs: ");
    scanf("%d %d", &g.vexnum, &g.arcnum);
    fflush(stdin);
    
    int i = 0, j = 0, k = 0;
    
    printf("input the name of vertex: ");
    
    for(i = 0; i < g.vexnum; i++){
        scanf("%c", &g.vertex[i].data);
        fflush(stdin);
        g.vertex[i].firstarc = NULL;
        g.vertex[i].in_degree = 0;
    }
    
    //construct the adjacent list
    char v1, v2;
    int w;
    ArcNode *p;

    printf("input the %d arcs v1 v2 and weight: ", g.arcnum);
    for(k = 0; k < g.arcnum; k++){
        scanf("%c %c %d", &v1, &v2, &w);
        fflush(stdin);
        i = locate(g, v1);
        j = locate(g, v2);

        //new a node
        p = (ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));
        p->adjvex = j;
        p->info = w;
        p->next = NULL;

        //insert the node in the head of list
        if(!g.vertex[i].firstarc){
            g.vertex[i].firstarc = p;
        }else{
            p->next = g.vertex[i].firstarc;
            g.vertex[i].firstarc = p;
        }

        g.vertex[j].in_degree++;
    }
}

//print the list
void printGraph(algraph g) {
    for(int i = 0; i < g.vexnum; i++){
        printf("%c's adjacent list is: ", g.vertex[i].data);
        ArcNode *p = g.vertex[i].firstarc;
        while(p){
            printf("%c(%d) ", g.vertex[p->adjvex].data, p->info);
            p = p->next;
        }
        printf(" ");
    }
}

void createGragh(algraph &g) {
    
    printf("please input the type of graph: ");
    scanf("%d", &g.kind);
    
    switch(g.kind){
    case DG: 
        createDG(g);
        //printGraph(g);
        break;
    case DN: 
        createDN(g);
        break;
    case UDG: 
        createUDG(g);
        break;
    case UDN: 
        createUDN(g);
        break;
    }
}

//²éÕÒÏÂÒ»¸ö
int findNext(algraph g) {
    for(int i = 0; i < g.vexnum; i++){
        if(g.vertex[i].in_degree == 0){
            return i;
        }
    }
    return -1;
}

//topo order
void topoSort(algraph g) {
    printf("the topo sort of graph is: ");
    for(int i = 0; i < g.vexnum; i++){
        int index = findNext(g);
        if(index > -1){
            printf("%c ", g.vertex[index].data);

            //don't consider the vertice again
            g.vertex[index].in_degree = -1;
            
            ArcNode *p = g.vertex[index].firstarc;
            while(p){
                g.vertex[p->adjvex].in_degree--;
                p = p->next;
            }
        }else{
            break;
        }
    }
    printf(" ");
}

void main() {
    algraph g;
    createGragh(g);
    topoSort(g);
}

程序的运行结果如下：

please input the type of graph:
0
input the number of vertex and arcs:
6 8
input the name of vertex:
a
b
c
d
e
f
input the 8 arcs v1 v2 and weight:
a d 1
a c 1
a b 1
c e 1
c b 1
d e 1
f e 1
f d 1
the topo sort of graph is:
a       c       b       f       d       e
Press any key to continue

说明：

(1) 为了避免重复检测入度为0的顶点，可设置一个栈暂存所有入度为0的顶点，复杂度为O(n + e)。而在程序中采用的是

    //don't consider the vertice again
    g.vertex[index].in_degree = -1;

来实现的。复杂度要高一些。

(2) 可以使用DFS，退出DFS函数的顺序即为逆向的拓扑有序序列。

（3）关键路径 

a. AOV网：用顶点表示活动，用弧表示活动间的优先关系的有向图称为顶点表示活动的网（activity on vertex network）。AOV网中，没有有向环。

b. AOE网：边表示活动的网络（顶点表示事件，弧表示活动），用来估算工程的完成时间，通常只有一个源点和一个汇点。

c. 求AOE算法的复杂度是O(n + e)