045.平衡二叉树的原理和实现

• 1. 二叉树排序树的缺陷
  • 1.1. 存在的问题
    • 1.1.1. 问题分析
• 2. 平衡二叉树的原理
  • 2.1. 基本介绍
• 3. 左旋转 AVL 树案例
  • 3.1. 思路分析
    • 3.1.1. 左旋转进行的步骤如下:
    • 3.1.2. 注意事项:
• 4. 右旋转 AVL 树案例
  • 4.1. 思路分析
    • 4.1.1. 右旋转步骤如下
• 5. 双旋转 AVL 树
  • 5.1. 双旋转情况分析
    • 5.1.1. 情况一
    • 5.1.2. 情况二
• 6. AVL 树代码实现
  • 6.1. 结点类
  • 6.2. 二叉树类
  • 6.3. 测试类
  • 6.4. 测试结果

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1. 二叉树排序树的缺陷

1.1. 存在的问题

• 给定数列 arr = {1,2,3,4,5,6} 创建二叉排序树
• 创建出来的二叉排序树如下图所示
  

1.1.1. 问题分析

• 左子树全部为空, 从形式上看更像是单链表
• 这种树对插入新结点的速度并不受影响
• 查询速度却会明显下降, 因为要依次比较, 不能发挥 BST 的优势
  因为每次还要比较左子树, 其查询速度比单链表还要慢

2. 平衡二叉树的原理

2.1. 基本介绍

• 平衡二叉树也叫平衡二叉搜索树 (Self-balancing binary search tree)
  又被称为 AVL 树, 可以保证有较高的查询效率

• 具有如下特点:

  • 首先它本身是二叉排序树, 是二叉排序树的改进
  • 它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差绝对值好不超过 1
  • 并且它的左右两个子树都是一棵平衡二叉树

• 平衡二叉树常用的实现方法有: 红黑树, AVL, 替罪羊树, Treap, 伸展树等.

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3. 左旋转 AVL 树案例

• 要求: 给定数列, 创建出对应的平衡二叉树, arr = {4,3,6,5,7,8}

3.1. 思路分析

• 首先用数列 arr = {4,3,6,5,7,8} 进行构造二叉排序树, 如下图进行排列.
  

• 然后问题就出现于此, 此时正常构建的二叉排序树的右子树的高度为 3,
  左子树的高度则为 1, 并不满足平衡二叉树的定义, 因此要进行左旋转.

3.1.1. 左旋转进行的步骤如下:

• 创建一个新结点, 权值等于当前二叉树的根结点, 即权值等于 4.
  

• 把新结点的左子结点设置为原根结点的左子结点
  

• 把新结点的右子树设置为原根结点的右子结点的左子结点
  

• 把原根结点的权值替换成原根结点的右子结点的权值
  

  位置进行调整和优化

  

• 把原根结点的右子树设置成其右子结点的右子结点
  

• 把原根结点的左子树设置为新结点
  

• 调整后得到新的平衡二叉树
  

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3.1.2. 注意事项:

• 在分析过程中左右子树的高度是关键判断是否旋转的标准,
  当发现左右子树的高度差绝对值大于 1 的时候就进行旋转.

• 即当新结点进行插入的时候, 若发现二叉树不再是 AVL 树的时候,
  就根据条件情况进行判断进行左旋转或右旋转.

• 因此在旋转前, 需要统计出二叉树的高度及其左右子树各自的高度

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4. 右旋转 AVL 树案例

• 要求给定数列, 创建出对应的平衡二叉树, arr = {10,12,8,9,7,6}

4.1. 思路分析

• 首先用数列创建出对应的排序二叉树, 如下图所示.
  

4.1.1. 右旋转步骤如下

• 创建一个新的结点, 权值等于当前二叉树根结点的权值
• 把新的结点的右子结点设置为原根结点的右子结点
• 把新的结点的左子结点设置为原根结点的左子结点的右子结点
• 把原根结点的权值换成原根结点的左子结点的权值
• 把原根结点的左子结点设置为其左子结点的左子结点
• 把原根结点的右子结点设置为新结点
• 最后得出 AVL 树
  

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5. 双旋转 AVL 树

• 在某些情况下单旋转并不能完成平衡二叉树的转换
• 比如数列 arr = {10,11,7,6,8,9} 以及数列 arr = {2,1,6,5,7,3}
• 如下图分析所示:
  • 单旋转过后 arr = {10,11,7,6,8,9} 并没有成功转换成平衡二叉树
    

5.1. 双旋转情况分析

5.1.1. 情况一

• 当符合右旋转的条件时
• 若二叉树的左子树的右子树高度大于其左子树的左子树高度
• 则先对这棵二叉树的左子树进行左旋转
• 再对这棵二叉树本身进行右旋转即可

5.1.2. 情况二

• 当符合左旋转的条件时
• 若二叉树的右子树的左子树高度大于其右子树的右子树高度
• 则先对这棵二叉树的右子树进行右旋转
• 再对这棵二叉树本身进行左旋转即可

6. AVL 树代码实现

• 大部分代码与二叉排序树重合, 但结点类有很大程度更改和新增

6.1. 结点类

package com.leo9.dc29.avl_tree;

public class TreeNode {
   
   
    public int value;
    public TreeNode left_node;
    public TreeNode right_node;

    public TreeNode(int value) {
   
   
        this.value = value;
    }

    //region 添加结点的方法
    //递归形式添加结点, 注意需要满足二叉排序树的要求
    public void addNode(TreeNode new_node) {
   
   
        //若传入空结点则直接返回即可
        if (new_node == null) {
   
   
            return;
        }

        //region 判断传入的结点的值, 和当前调用方法的结点的值关系
        //如果新结点的值小于等于当前调用结点的值
        if (new_node.value <= this.value) {
   
   
            //如果当前调用结点的左子结点为空, 则直接将新结点接在其左子结点即可
            if (this.left_node == null) {
   
   
                this.left_node = new_node;
            }
            //如果不为空, 递归向左添加
            else {
   
   
                this.left_node.addNode(new_node);
            }
        }
        //如果新结点的值大于当前调用结点的值
        else {
   
   
            //如果当前调用结点的右子结点为空, 则直接将新结点接在其右子结点即可
            if (this.right_node == null) {
   
   
                this.right_node = new_node;
            }
            //如果不为空, 递归向右添加
            else {
   
   
                this.right_node.addNode(new_node);
            }
        }
        //endregion

        /**----------新增部分-----------*/
        //region 判断是否需要左旋转
        //如果 (右子树高度-左子树高度) > 1, 进行左旋转
        if (getRightHeight() -<