【最小路径覆盖+注意】POJ 2594

这题要注意一点,题中说了You should notice that the roads of two different robots may contain some same point. 就是要注意这个细节http://www.cnblogs.com/ka200812/archive/2011/07/31/2122641.html ,要用一次传递闭包floyd找出所有通路

#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <queue>
#include <deque>
#include <stack>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <math.h>
#include <iomanip>
#include <cstdlib>
#include <limits.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define LL long long
#define MIN -99999999
#define MAX 99999999
#define pii pair<int ,int>

#define bug cout<<"here!!"<<endl
#define PI acos(-1.0)
#define FRE freopen("input.txt","r",stdin)
#define FF freopen("output.txt","w",stdout)
#define eps 1e-8
#define N 505
bool g[N][N];
int match[N];
bool vis[N];
int n;
void floyd(){
    int i,j,k;
    for(k=1;k<=n;k++){
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=1;j<=n;j++){
            if(g[i][k] && g[k][j])
                g[i][j] = true;
        }
    }
    }
}
bool sear(int s){
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++){
        if(g[i][s] && !vis[i]){
            vis[i] = 1;
            if(match[i]==0 || sear(match[i])){
                match[i] = s;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int main(){
    int m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m) && (n+m)){
        int i,j;
        memset(g,0,sizeof(g));
        memset(match,0,sizeof(match));
        while(m--){
            int a,b;
            scanf("%d%d",&a,&b);
            g[a][b] = true;
        }
        int cnt = 0;
        floyd();
        for(i=1;i<=n;i++){
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            if(sear(i))cnt++;
        }
        printf("%d\n",n-cnt);
    }
    return 0;
}


### 最小路径覆盖问题及其解决方案 最小路径覆盖问题是图论中一个经典的问题,尤其在有向无环图(DAG)中有着广泛的应用。该问题的目标是找到图中尽可能少的路径,使得这些路径能够覆盖所有顶点,并且每个顶点恰好出现在一条路径中。 #### 问题定义 对于给定的有向图 $ G = (V, E) $,设 $ P $ 是 $ G $ 的一个简单路径集合。如果 $ V $ 中的每个顶点恰好在 $ P $ 的一条路径上,则称 $ P $ 是 $ G $ 的一个路径覆盖。目标是找到路径数最少的路径覆盖,即最小路径覆盖。 #### 解决方案:网络流模型 解决最小路径覆盖问题的经典方法是将其转化为最大匹配问题,进而通过网络流算法求解。 ##### DAG中的最小路径覆盖 对于有向无环图(DAG),可以通过构造二分图并求其最大匹配来解决最小路径覆盖问题。具体步骤如下: 1. **构建二分图**: - 将原图中的每个顶点 $ v $ 拆分为两个部分:$ v_{in} $ 和 $ v_{out} $。 - 左侧集合为 $ \{v_{in} | v \in V\} $,右侧集合为 $ \{v_{out} | v \in V\} $。 - 对于每条边 $ (u, v) \in E $,在二分图中添加一条从 $ u_{in} $ 到 $ v_{out} $ 的边。 2. **求最大匹配**: - 在构造的二分图中求最大匹配。最大匹配的大小记为 $ M $。 3. **计算最小路径覆盖**: - 最小路径覆盖的大小等于顶点数减去最大匹配的大小,即 $ |V| - M $ [^4]。 ##### 示例代码 以下是一个基于匈牙利算法实现的最大匹配求解代码片段,用于计算 DAG 的最小路径覆盖: ```cpp #include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; #define N 150 int lover[N]; // 记录匹配关系 bool vis[N]; // 标记访问状态 int e[N][N]; // 邻接矩阵表示二分图 bool find(int x, int n) { for (int i = 1; i <= n; i++) { if (e[x][i] && !vis[i]) { vis[i] = true; if (!lover[i] || find(lover[i], n)) { lover[i] = x; return true; } } } return false; } int max_matching(int n) { int ans = 0; memset(lover, 0, sizeof(lover)); for (int i = 1; i <= n; i++) { memset(vis, 0, sizeof(vis)); if (find(i, n)) ans++; } return ans; } int main() { int T; scanf("%d", &T); while (T--) { int n, m; scanf("%d %d", &n, &m); memset(e, 0, sizeof(e)); for (int i = 1; i <= m; i++) { int a, b; scanf("%d %d", &a, &b); e[a][b] = 1; // 构造二分图 } int match = max_matching(n); printf("最小路径覆盖数: %d\n", n - match); } return 0; } ``` #### 可相交的最小路径覆盖 在某些情况下,路径可以相交。例如,在 POJ 2594 Treasure Exploration 问题中,允许路径在顶点上重叠。这种情况下,可以通过先对图进行传递闭包处理,再使用上述方法求解最小路径覆盖 [^3]。 #### 应用场景 - **任务调度**:将任务之间的依赖关系建模为有向图,寻找最少的任务序列以覆盖所有任务。 - **软件工程**:在模块调用图中,确定最少的测试路径覆盖所有模块。 - **交通规划**:设计最少的路线以覆盖所有地点。
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