一阶逻辑形式推理系统

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命题演算的形式系统被成功地构造出来了（前文我们将它表示为L），而且L是那么完美：系统内所能证明的公式“恰恰”是那些逻辑为真的公式，一个不多，一个不少。该系统恰如其分地抽象出命题演算的逻辑推理本质。

 

但是，逻辑学家们马上发现L并非那么完美：L的功能太有限。于是，他们稍稍前进一步，将命题划分成更小的单位：主词和谓词。并试图进而抽象出我们日常所进行的哪个事物具有哪个属性的推理系统，从而揭示谓词演绎的本质：这就是一阶逻辑形式推理系统。

 

（主词相当于主语，所讨论的事物；谓词相当于谓语，事物的属性。主词是变元或常元，谓词是对相应变元属性的判断，可以对主词使用量词如所有、存在。但不去讨论谓词作为变元的情况，不对谓词使用量词。在高阶逻辑中，可以对谓词使用量词。）

 

相似地，他们巧妙地构造了一个稍大的形式系统K，其中仅包含：

1 六条公理，这六条公理是推理的基础；比形式系统L增加了3条关于量词的公理。

2 两条规则，据此规则进行推理；比形式系统L增加了1条规则，也是关于量词的。

并且证明了：

3 K演绎出的公式都是“逻辑为真的”（K的可靠性Soundness）；

4 任何“逻辑为真”的公式都可以由K推理出来（K的完备性Completeness）.

 

这就是形式化的谓词演算系统（一阶逻辑形式系统）。

 

这似乎是显而易见的。但事实上，这一结论最早的证明直到1930年才由哥德尔（Godel）提出来。从1910 年罗素（B.Russell）在《数学原理》中提出的第一个完全形式化的一阶谓词逻辑系统PM算起，用了20年，如果从亚里士多德公元前300年提出谓词演算的思想，到哲学家、逻辑学家们得到这个结果，2200多年已经过去了。

 

在命题演算系统中，一个公式（结论）是由命题作为最小单位，加上联结词联结而成。公式非真即假，其值由命题单位的赋值决定，即一个公式对应一个真值表。所谓“逻辑为真”就是“重言式”，即真值表中公式的取值总是“真”。

 

与命题演算系统不同，谓词演算系统要复杂的多。首先是不能使用真值表来判断公式的逻辑真假。其实如果没有相应的解释，一个不含量词的公式连真假的意义都谈不上。如F(x)表示x会飞，如果不说明x是什么，则F(x)没有真假可言。所以论证一阶逻辑中3、4两个性质，就要涉及到解释、赋值、满足、模型等概念。