【Leetcode】891. Sum of Subsequence Widths 891. 子序列宽度之和

最新推荐文章于 2021-10-01 11:07:13 发布

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本文介绍了一种高效算法，用于解决特定子序列宽度求和问题。通过对输入序列进行排序，并利用数学公式推导，该算法能在O(n)时间内计算所有可能的子序列宽度之和。文章还提供了一个Python实现示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

解法

首先要排序，然后容易分析得出对于任何 $i < j$ ，宽度为 $A_j-A_i$ 的子序列数量为 $2^{j-i-1}$ 。
$A_i$ 会出现在下标为0,1,2,…,i-1的二元组的右边，即需要乘以 $2^{i-1}$ , $2^{i-2}$ , $2^{i-3}$ ,…, $2^0$ ；
还会出现在下标为i+1,i+2,…,N-1的二元组的左边，即需要乘以 $2^0$ , $2^1$ , $2^2$ ,…, $2^{N-2-i}$ ，所以加在一起是：
$Ai(∑k=0i−12k−∑k=0N−2−i2k)=Ai(2i−2N−1−i)A_i(\sum_{k=0}^{i-1}2^k-\sum_{k=0}^{N-2-i}2^k)=A_i(2^i-2^{N-1-i})$
所以排序之后再扫描一遍就行了

class Solution(object):
    def sumSubseqWidths(self, A):
        """
        :type A: List[int]
        :rtype: int
        """
        MOD = 10**9+7
        A.sort()
        ans = 0
        n = len(A)
        pow2 = [1]
        for i in xrange(1,n):
            pow2.append((pow2[-1]<<1)%MOD)
        for i in xrange(n):
            j = n-1-i
            if j<=i:break
            ans += (A[j]-A[i])*((pow2[j]+MOD-pow2[i])%MOD)
            ans = ans%MOD
        return ans