差分约束的简单总结

差分约束  在数学上  更多被称为线性规划

作为线性规划的一种特殊情况

“差分”即意味两个变量作差

“约束”则意味这个差  满足一些条件

比如  等于某个值   或   大于某个值   或   小于某个值

例 a - b >= x1

    b - c <= x2

    a - c == x3

而这类问题在计算机中  也一般只会要求你输出  第i个变量与第j个变量       的差    最大是多少    最小是多少

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对于   大于等于小于  三种情况    在竞赛中不容易直接让电脑理会并得出需要的结果

差分约束   则是通过  将(不）等式转化为图论中的最短（长）路问题

类比    a - b >= x1       与          dis[a] - dis[b] >= x1            ==>        dis[a] >= dis[b] + x1

            b - c <= x2                   dis[b] - dis[c] <= x2            ==>        dis[c] >= dis[b] + (-x2)

            a - c == x3                   dis[a] - dis[c] <= x3                            dis[c] >= dis[a] + (-x3)

                                                 dis[a] - dis[c] >= x3                            dis[a] >= dis[c] + x3

                (1)                                         (2)                                                        (3)

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如上  将（1）        最终转化成了          （3）

而（3）   则可以通过指定一点的dis为0   （例如  规定dis[a] = 0）

        然后从这个点开始求单源最长路 

        对于dis[c] >= dis[b] + (-x2)   则可以加一条边  从b到c   边权为-x2

        因为对于最长路   如果i能转移到j      一定有dis[j] >= dis[i] + w[i][j]  

        所以这样求出来的单源最长路一定是满足所有式子

1                但是有可能最后求出来   目标点的dis没有被赋值  

                    则说明从起点开始的约束    无法涉及到目标点

                  即目标点的值与起点的值   没有任何关系  可以为任意值

                

 2               也有可能有一个正环       导致死循环 

                    有正环则说明这一组式子不可满足   例如（a > b + 1   b > a + 1）

                

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对于1情况   最终只需要看看dis[final]是不是初始状态就能判断

对于2情况   则限制了求最短（长）路只能用spfa     （dij不能有负环）

                    对于一次spfa   若某个点被访问了N次  则一定有环   （自证不难）便可由此判断

ps ：  将上文的（3）组式子也可以改写成 a <= b + x的形式    那么就需要求单源最短路 

                                 因为最短路转移维护了   dis[v] <= dis[u] + x

来几道例题练练手吧

    poj3169        hdu3440        

再来一道不是那么好建图的。。          poj1275  

        （其实差分约束主要就难在建图。。）