《算法导论》：跳跃表（Skip List）

跳跃表简介 

Skip lists  are data structures  that use probabilistic  balancing rather  than  strictly  enforced balancing. As a result, the algorithms  for insertion  and deletion in skip lists  are much simpler and significantly  faster  than  equivalent  algorithms  for balanced trees. 
跳跃表使用概率均衡技术而不是使用强制性均衡，因此，对于插入和删除结点比传统上的平衡树算法更为简洁高效。

查找操作

利用链表，我们如何才能创造出一个查找效率高的数据结构呢？

1.有序的一条链表

遗憾的是，链表并没有随机访问的能力，因此我们无法利用二分查找算法，只能依次遍历整个链表，算法的时间为O(n)。

2.改进的思想

如果某些结点能够直接跳跃到另一个结点，将大大减少查找的次数，改善运行时间。

3.两层链表

如果使用两条链表，类似于纽约大都市的地铁，有“快线”和“慢线”之分，“快线”经过更少的站点（设为m个），可以减少中途停站的时间，而“慢线”经过所有的站点（设为n个），以保证人们的出行。坐地铁时，我们先坐“快线”到达离目的地较近的站点，再换乘“慢线”到达目的地站点。

出行时间为O(m+n/m)，当m取√n时，时间最短，为O(√n)。

4.k层链表

在两条链表的基础上，如果采用更多的链表，会不会使得效率进一步提升呢？可以证明，使用k条链表时的最优时间复杂度为O(k*n^(1/k))。当k取lgn时为最优解，此时每两层链表的元素个数比为2，共有lgn层链表。

查找的时间复杂度为O(lgn)，空间复杂度为O(n)。

插入操作

如何保证链表的层数和每层的元素个数，成为了维持跳跃表查找性能的核心。采用随机化的插入策略，可以保证每次插入的时间复杂度为O(lgn)。

将元素插入底层链表，然后运用“抛硬币算法”，若出现正面，则将该元素“提升”至上一层，直到出现反面。

由于两层链表的元素个数比为2，而提升的概率为1/2，因此在主观上此方法是很合理的。而经过严谨的论证，可以证明对于任意的α，有1-1/n^α的概率，插入操作的时间复杂度为O(lgn)。

删除操作

很简单，只需要逐层删除元素即可。

总结

跳跃表是比较高效的动态查找表数据结构。由于它的代码以及原理实现的简单性，更为人们所接受。

参考资料

浅析SkipList跳跃表原理及代码实现

维基百科 - 跳跃列表

MIT算法导论公开课：跳跃表