证明题 8.20

问题描述：

在一个无向图G=(V,E)中，我们称D属于V为一个占优集，是值每个v属于V都属于D或与D中一个节点为邻。在占优集问题中，输入为一个图和预算b,目标是求图的一个规模不超过b的控制集----如果该集存在。证明该问题是NP-完全的。

答案：

可以将顶点覆盖问题归约到支配集问题。若要在图 G(V,E) 中求得不大于b 的一个 顶点覆盖，可以先对图G 做一个预处理：对每条边(u,v) ∈E，添加一个辅助顶点w， 及两条边(u,w) 和(v,w) , 如下图所示：

对每条边都这样处理后得到一个新图 ' G 。容易看出，若原图G 中存在不大于b 的 顶点覆盖，这个顶点覆盖也是新图 ' G 的一个支配集。反过来，若新图 ' G 中存在一 个不大于b 的支配集，那么对这个支配集进行一些处理后也能得到一个图G 的不大 于b 的顶点覆盖。处理过程如下：设该支配集为D，对于每条边(u,v)  及相应的辅助顶点w，若 w ∉ D，则不用做任何处理，若w ∈ D且 u,v ∉ D，那么可以在D中将w替换成u 或v，若w ∈ D同时u∈D∨v∈D，则直接将w从D中删掉即可。