算法分析的数学基础

第2章 算法分析的数学基础

《Introduction to Algorithms》
 第三章 第四章 附 录

一. 计算复杂性函数的阶

计算函数的阶:

1. 算法执行时间随问题规模增长而增长的阶（增长率).
2. 执行时间函数的主导项

如: $T(n)=a{n}^2+bn+c$

主导项: $a{n}^2$,当输入大小n较大时，其它低阶项相对来说意义不大,系数a也相对来说意义不大

即：函数T(n)的阶为n 2

定义(同阶): 设f(n)和g(n)是正值函数。如果
$\exists c1,c2>0,n_0,\forall n>n_0,c_{1}g(n)\le f(n)\le c_{2}g(n)$，则称f(n)与g(n)同阶，记作f(n)= $\theta$(g(n)) 。

证明同阶,找到n ,c1, c2使得他们满足定义

定义(低阶) 设f(n)和g(n)是正值函数。如果$ \exist c>0, n_0 , \forall n>n_0 , f(n)\le cg(n)$，则称f(n)比g(n)低阶或g( n )是 f ( n ) 的 上 界 ， 记 作 f ( n ) = O ( g ( n ) ) 。

证明低阶: 找到n ,c满足定义

O ( g ( n ) ) 代表复杂度上界是g(n), f ( n ) = O ( g ( n ) )代表f(n)的复杂度小于g(n),读作复杂度不超过g(n)

如果$f(n)=O(n^k)$, 则称f(n) 是多项式界限的

定义(高阶) 设f(n)和g(n)是正值函数。如果$\exists c>0,n_0,\forall n>n_0,f(n)\ge cg(n)$，则称f(n)比g(n)高阶或g(n)
是f(n)的下界，记作f(n)= $\Omega$ (g(n)) 。

证明高阶: 找到 n ,c 满足定义

$\Omega$ (g(n))代表复杂度下界为g(n), 读作复杂度不低于g(n)

对于插入排序，我们可以说

– 最好运行时间是$\Omega $(n)–或者说，运行时间</$