分治算法

一. Divide-and-Conquer原理

简而言之, 分治算法就是一个问题的规模较大时不好解决, 但规模较小时又很好解, 那么我们就将大问题化成小问题, 依次求解小问题再合并成大问题的解, 当然, 不是所有问题都可以这么做.

设计过程分为三个阶段

1.Divide： 整个问题划分为多个子问题

注意：分解的这组子问题$p_1,p_2,\dots p_m$ 未必一定是相同的子问题，即$p_i 和p_j $可以是分别完成不同任务的子问题

2.Conquer：求解各子问题(递归调用正设计的算法), 注意边界条件
3.Combine：合并子问题的解, 形成原始问题的解

Divide-and-Conquer 算法的分析

1.分析各阶段的复杂性

• Divide 阶段的时间复杂性: D(n)
• Conquer 阶段的时间复杂性: aT (n/b)
• Combine 阶段的时间复杂性: C(n)

2.建立递归方程

1. 设输入大小为 n, T(n) 为时间复杂性
2. 当 n<c 时,T(n)= O(1)

3.求解递归方程得到问题的复杂度

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例1: 最大最小值问题

输入：一个数组A

输出: 数组中的最大值和最小值

分析:

通常，直接扫描需2 n -2 次比较操作,下面给出一个复杂度为3n/2-2的算法

例2: 整数乘法

输入：n 位二进制整数 X 和 Y

输出：X 和 Y 的乘积

通常，计算X*Y 时间复杂性为 O(n2)O( n^2)O(n