本文详细解答了蓝桥杯省赛中的多个编程挑战，包括煤球数目计算、生日蜡烛数量推算、凑算式解法、快速排序实现、抽签组合、方格填数方案、剪邮票方法、四平方和表示、交换瓶子次数计算、最大比例计算等题型。通过解析这些题目，展示了算法设计与应用技巧。
引言
今天是蓝桥杯省赛举办的日子，是一个很激动人心的时刻，也是我第一次参加蓝桥杯，从上午9点到下午1点，做题时间历经4个小时，想想就过瘾。
下面整理一下这次比赛的题目。
*注：此处为了省事儿，全是用JAVA代码写的 ^_^
原题再现
1. 煤球数目
煤球数目
有一堆煤球，堆成三角棱锥形。具体：
第一层放1个，
第二层3个（排列成三角形），
第三层6个（排列成三角形），
第四层10个（排列成三角形），
....
如果一共有100层，共有多少个煤球？
请填表示煤球总数目的数字。
注意：你提交的应该是一个整数，不要填写任何多余的内容或说明性文字。
/*
这个问题其实很简单，但是可能表达上不是很清楚，其实意思就是，每一层放一个堆成三角棱锥形，就像如下：
# 第一层
------
#
# # 第二层
------
#
# # 第三层
# # #
所以需要把第一层的数量算出来，再把这100层的求和。
第n层的数量：A[n] = A[n-1] + n
*/
public class Main {
public static void main(String[] args) {
int[] arrLayer = new int[101];
int sum = 0;
for (int i = 1; i <= 100; i++) {
arrLayer[i] = arrLayer[i-1] + i;
}
for (int i = 1; i <= 100; i++) {
sum += arrLayer[i];
}
System.out.println(sum);
}
}
答案：171700
2. 生日蜡烛
生日蜡烛
某君从某年开始每年都举办一次生日party，并且每次都要吹熄与年龄相同根数的蜡烛。
现在算起来，他一共吹熄了236根蜡烛。
请问，他从多少岁开始过生日party的？
请填写他开始过生日party的年龄数。
注意：你提交的应该是一个整数，不要填写任何多余的内容或说明性文字。
/*
这个题目很简单，不用讲究什么算法，直接爆破就行
*/
public class Main {
public static void main(String[] args) {
for (int i = 1; i <= 236; i++) {
int sum = 0;
for (int j = i; j <= 236; j++) {
sum += j;
if (sum == 236) {
System.out.println(i);
return;
}else if(sum > 236){
break;
}
}
}
}
}
答案：26
3. 凑算式
凑算式
B DEF
A + --- + ------- = 10
C GHI
（如果显示有问题，可以参见【图1.jpg】）
这个算式中A~I代表1~9的数字，不同的字母代表不同的数字。
比如：
6+8/3+952/714 就是一种解法，
5+3/1+972/486 是另一种解法。
这个算式一共有多少种解法？
注意：你提交应该是个整数，不要填写任何多余的内容或说明性文字。
A+BC+DEFGHI=10
/*
直接用全排序，暴力测试就行，这里全用DFS。
这个题目关键在于处理精度的问题上，直接转成double就行
*/
public class Main {
static int[] num = new int[10];
static boolean[] book = new boolean[10]; //游标
static int ans = 0;
static void solve(){
if (num[1] +
(double)num[2]/num[3] +
(double)(num[4]*100+num[5]*10+num[6])/(num[7]*100+num[8]*10+num[9])
== 10
) {
ans++;
}
}
static void dfs(int index){
if (index == 10) {
solve();
return;
}
for (int i = 1; i <= 9; i++) {
if(!book[i]){
book[i] = true;
num[index] = i;
dfs(index+1);
book[i] = false;
}
}
}
public static void main(String[] args) {
dfs(1);
System.out.println(ans);
}
}
答案：29
4. 快速排序
快速排序
排序在各种场合经常被用到。
快速排序是十分常用的高效率的算法。
其思想是：先选一个“标尺”，
用它把整个队列过一遍筛子，
以保证：其左边的元素都不大于它，其右边的元素都不小于它。
这样，排序问题就被分割为两个子区间。
再分别对子区间排序就可以了。
下面的代码是一种实现，请分析并填写划线部分缺少的代码。
#include <stdio.h>
void swap(int a[], int i, int j)
{
int t = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = t;
}
int partition(int a[], int p, int r)
{
int i = p;
int j = r + 1;
int x = a[p];
while(1){
while(i<r && a[++i]<x);
while(a[--j]>x);
if(i>=j) break;
swap(a,i,j);
}
______________________;
return j;
}
void quicksort(int a[], int p, int r)
{
if(p<r){
int q = partition(a,p,r);
quicksort(a,p,q-1);
quicksort(a,q+1,r);
}
}
int main()
{
int i;
int a[] = {5,13,6,24,2,8,19,27,6,12,1,17};
int N = 12;
quicksort(a, 0, N-1);
for(i=0; i<N; i++) printf("%d ", a[i]);
printf("\n");
return 0;
}
注意：只填写缺少的内容，不要书写任何题面已有代码或说明性文字。
这个题目就是送分的，熟悉快速排序的直接就能填写上。
答案：swap(a,p,j)
5. 抽签
抽签
X星球要派出一个5人组成的观察团前往W星。
其中：
A国最多可以派出4人。
B国最多可以派出2人。
C国最多可以派出2人。
....
那么最终派往W星的观察团会有多少种国别的不同组合呢？
下面的程序解决了这个问题。
数组a[] 中既是每个国家可以派出的最多的名额。
程序执行结果为：
DEFFF
CEFFF
CDFFF
CDEFF
CCFFF
CCEFF
CCDFF
CCDEF
BEFFF
BDFFF
BDEFF
BCFFF
BCEFF
BCDFF
BCDEF
....
(以下省略，总共101行)
#include <stdio.h>
#define N 6
#define M 5
#define BUF 1024
void f(int a[], int k, int m, char b[])
{
int i,j;
if(k==N){
b[M] = 0;
if(m==0) printf("%s\n",b);
return;
}
for(i=0; i<=a[k]; i++){
for(j=0; j<i; j++) b[M-m+j] = k+'A';
______________________; //填空位置
}
}
int main()
{
int a[N] = {4,2,2,1,1,3};
char b[BUF];
f(a,0,M,b);
return 0;
}
仔细阅读代码，填写划线部分缺少的内容。
注意：不要填写任何已有内容或说明性文字。
这里主要看一下f(int a[], int k, int m, char b[])函数，a[]是每个国家最多派出的人数，k表示当前是哪个国家，m表示还需要派送几个人，b[]表示已经派送人的字符串。
第一个循环是第k个国家从0~a[k]个中指派人员。
答案：f(a, k+1, m-i, b)
6. 方格填数
方格填数
如下的10个格子
+--+--+--+
| | | |
+--+--+--+--+
| | | | |
+--+--+--+--+
| | | |
+--+--+--+
（如果显示有问题，也可以参看【图1.jpg】）
填入0~9的数字。要求：连续的两个数字不能相邻。
（左右、上下、对角都算相邻）
一共有多少种可能的填数方案？
请填写表示方案数目的整数。
注意：你提交的应该是一个整数，不要填写任何多余的内容或说明性文字。
/*
* 这个题目还是采用全排序的方式进行序列组合，然后逐个测试
*/
public class Main {
static int[][] map = new int[3][4]; //填数地图
static boolean[][] flag = new boolean[3][4]; //地图可用标志
static boolean[] book = new boolean[10]; //0-9数字使用标志
static int ans;
static void solve(){
int[][] dir = new int[][]{
{-1,-1},
{-1,0},
{-1,1},
{0,-1},
{0,1},
{1,-1},
{1,0},
{1,1}
};
boolean mFlag = true;
for (int i = 0; i < 3; i++) {
for (int j = 0; j < 4; j++) {
if (!flag[i][j]) continue;
for (int k = 0; k < 8; k++) {
int x, y;
x = i + dir[k][0];
y = j + dir[k][1];
if(x<0 || y<0 || x>=3 || y>=4 || !flag[x][y]) continue;
if(Math.abs(map[i][j] - map[x][y]) == 1) {
mFlag = false;
return;
}
}
}
}
if (mFlag) {
ans++;
}
}
static void dfs(int index){ //index表示第几个格子
int x,y;
x = index / 4; //格子行
y = index % 4; //格子列
if (x == 3) { //越界 回退
solve();
return;
}
if (flag[x][y]) {
for (int i = 0; i <= 9; i++) {
if (!book[i]) {
book[i] = true;
map[x][y] = i;
dfs(index + 1);
book[i] = false;
}
}
}else{
dfs(index + 1);
}
}
public static void main(String[] args) {
//地图可用标志 初始化
for (int i = 0; i < 3; i++) {
for (int j = 0; j < 4; j++) {
flag[i][j] = true;
}
}
flag[0][0] = flag[2][3] = false;
dfs(0);
System.out.println(ans);
}
}
答案：1580
7. 剪邮票
剪邮票
如【图1.jpg】, 有12张连在一起的12生肖的邮票。
现在你要从中剪下5张来，要求必须是连着的。
（仅仅连接一个角不算相连）
比如，【图2.jpg】，【图3.jpg】中，粉红色所示部分就是合格的剪取。
请你计算，一共有多少种不同的剪取方法。
请填写表示方案数目的整数。
注意：你提交的应该是一个整数，不要填写任何多余的内容或说明性文字。
/*
* 这个题目还是采用全排序的方式进行序列组合，然后逐个测试
* 全排序好做，关键在于检测函数
*/
import java.util.Arrays;
public class Main {
//----生成全序列专用---
static boolean[] visit = new boolean[13]; //12个数字的使用标记
static int[] num = new int[6]; //5个box
//----检测函数专用—---
static int[][] map = new int[3][4]; //地图
static boolean[][] mapVisit = new boolean[3][4]; //标记是否已检测此点
static int count; //记数，是否5连
static int[][] dir = new int[][]{
{0,1},
{0,-1},
{1,0},
{-1,0}
};
static int ans;
static void init(){
int k = 0;
for (int i = 0; i < 3; i++) {
for (int j = 0; j < 4; j++) {
map[i][j] = ++k;
}
}
}
static void solveInner(int x, int y){
int tX, tY;
for (int i = 0; i < 4; i++) {
tX = x + dir[i][0];
tY = y + dir[i][1];
if (tX < 0 || tY < 0 || tX >= 3 || tY >= 4) continue; //越界检测
if (!visit[map[tX][tY]] || mapVisit[tX][tY]) continue; //此点数值是否加入，或已检测
count++;
mapVisit[tX][tY] = true;
solveInner(tX, tY);
}
}
static void solve(){
for (int i = 0; i < mapVisit.length; i++) {
Arrays.fill(mapVisit[i], false);
}
//扫描地图
for (int i = 0; i < 12; i++) {
int x,y;
x = i / 4;
y = i % 4;
//找到第一个使用的数字
if (visit[map[x][y]]) {
count = 1;
mapVisit[x][y] = true;
//内函数，通过无限递归判断是否连同
solveInner(x, y);
break;
}
}
if (count == 5) {
ans++;
}
}
static void dfs(int index){ //index表示第几个数
if (index == 6) {
solve();
return;
}
for (int i = num[index - 1] + 1; i <= 12; i++) { //num[index - 1]防止出现相同的序列
if (!visit[i]) {
visit[i] = true;
num[index] = i;
dfs(index + 1);
visit[i] = false;
}
}
}
public static void main(String[] args) {
init();
dfs(1);
System.out.println(ans);
}
}
答案：116
8. 四平方和
四平方和
四平方和定理，又称为拉格朗日定理：
每个正整数都可以表示为至多4个正整数的平方和。
如果把0包括进去，就正好可以表示为4个数的平方和。
比如：
5 = 0^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2
7 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2
（^符号表示乘方的意思）
对于一个给定的正整数，可能存在多种平方和的表示法。
要求你对4个数排序：
0 <= a <= b <= c <= d
并对所有的可能表示法按 a,b,c,d 为联合主键升序排列，最后输出第一个表示法
程序输入为一个正整数N (N<5000000)
要求输出4个非负整数，按从小到大排序，中间用空格分开
例如，输入：
5
则程序应该输出：
0 0 1 2
再例如，输入：
12
则程序应该输出：
0 2 2 2
再例如，输入：
773535
则程序应该输出：
1 1 267 838
资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 3000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。
所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意: main函数需要返回0
注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 标准，不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
注意: 所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include <xxx>， 不能通过工程设置而省略常用头文件。
提交时，注意选择所期望的编译器类型。
import java.util.Scanner;
/*
* 方法一：4层循环爆破，O(n^4),时间可能会超时
*/
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner in = new Scanner(System.in);
int n = in.nextInt();
for (int i = 0; i < Math.sqrt(n); i++) {
for (int j = 0; j < Math.sqrt(n); j++) {
for (int k = 0; k < Math.sqrt(n); k++) {
for (int l = 0; l < Math.sqrt(n); l++) {
if (i*i + j*j + k*k + l*l == n) {
System.out.println(i + " " + j + " " + k + " " + l);
return;
}
}
}
}
}
}
}
import java.util.Scanner;
/*
* 方法二：3层循环 + 1层判断，O(n^3 / 2),时间比方法一要快
*/
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner in = new Scanner(System.in);
int n = in.nextInt();
for (int i = 0; i < Math.sqrt(n); i++) {
for (int j = 0; j < Math.sqrt(n); j++) {
for (int k = 0; k < Math.sqrt(n); k++) {
double tmp = Math.sqrt(n - i*i - j*j - k*k);
if (tmp == (int)tmp) {
System.out.println(i + " " + j + " " + k + " " + (int)tmp);
return;
}
}
}
}
}
}
9. 交换瓶子
交换瓶子
有N个瓶子，编号 1 ~ N，放在架子上。
比如有5个瓶子：
2 1 3 5 4
要求每次拿起2个瓶子，交换它们的位置。
经过若干次后，使得瓶子的序号为：
1 2 3 4 5
对于这么简单的情况，显然，至少需要交换2次就可以复位。
如果瓶子更多呢？你可以通过编程来解决。
输入格式为两行：
第一行: 一个正整数N（N<10000）, 表示瓶子的数目
第二行：N个正整数，用空格分开，表示瓶子目前的排列情况。
输出数据为一行一个正整数，表示至少交换多少次，才能完成排序。
例如，输入：
5
3 1 2 5 4
程序应该输出：
3
再例如，输入：
5
5 4 3 2 1
程序应该输出：
2
资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 1000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。
所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意: main函数需要返回0
注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 标准，不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
注意: 所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include <xxx>， 不能通过工程设置而省略常用头文件。
提交时，注意选择所期望的编译器类型。
/*
* 单独开一个下标标记数组，挨个遍历交换
*/
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
int n, steps = 0;
int[] arr, pos;
Scanner in = new Scanner(System.in);
n = in.nextInt();
arr = new int[n + 1];
pos = new int[n + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
arr[i] = in.nextInt();
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
pos[arr[i]] = i;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (arr[i] != i) {
int tmp = arr[i];
arr[i] = arr[pos[i]];
arr[pos[i]] = tmp;
pos[tmp] = pos[i];
pos[i] = i;
steps++;
}
}
System.out.println(steps);
}
}
10. 最大比例
最大比例
X星球的某个大奖赛设了M级奖励。每个级别的奖金是一个正整数。
并且，相邻的两个级别间的比例是个固定值。
也就是说：所有级别的奖金数构成了一个等比数列。比如：
16,24,36,54
其等比值为：3/2
现在，我们随机调查了一些获奖者的奖金数。
请你据此推算可能的最大的等比值。
输入格式：
第一行为数字N，表示接下的一行包含N个正整数(n<100)
第二行N个正整数Xi(Xi<1 000 000 000 000)，用空格分开。每个整数表示调查到的某人的奖金数额
要求输出：
一个形如A/B的分数，要求A、B互质。表示可能的最大比例系数
测试数据保证了输入格式正确，并且最大比例是存在的。
例如，输入：
3
1250 200 32
程序应该输出：
25/4
再例如，输入：
4
3125 32 32 200
程序应该输出：
5/2
再例如，输入：
3
549755813888 524288 2
程序应该输出：
4/1
资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 3000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。
所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意: main函数需要返回0
注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 标准，不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
注意: 所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include <xxx>， 不能通过工程设置而省略常用头文件。
提交时，注意选择所期望的编译器类型。
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