17、电磁学基础与数值计算详解

电磁学基础与数值计算详解

1. 麦克斯韦方程组相关基础

在电磁学中，一些基础的方程和概念是理解后续知识的关键。首先，从力的平衡角度出发，当处于平衡状态时，有 $F_{mag} + F_{el} = 0$，这里 $F_{el} = Q_e E$ ，由此可推导出 $E = -v × B$ 。当用柔性电缆将电阻 $R$ 与导电板并联时，电场 $E$ 会产生电流 $i$ ，此时 $v × B$ 被称为动生电动势。忽略连接电阻，电阻两端的电位差（电压 $u$ ）为 $u = Ri = \int E · ds = l · (v × B)$ ，其中 $l$ 是导电板的长度。机械功率 $P_{mech}$ 转化为电功率 $P_{el}$ ，即 $P_{mech} = F_{mech} · v = Ri^2 = P_{el}$ ，这就如同一个带欧姆负载的发电机。

高斯定律指出，穿过封闭曲面 $\Gamma$ 的电通量密度 $D$ 的总量等于体积 $\Omega$ 内的总电荷 $q_e$ ，即 $\oint_{\Gamma} D · d\Gamma = \int_{\Omega} q_e d\Omega$ 。运用散度定理，可得到其微分形式 $\nabla · D = q_e$ ，这表明电荷是电场的源，且电场是无旋的。

由于磁性材料不能被分割成只有北极或南极的部分，不存在磁荷，磁场总是有旋的（闭合的磁力线）。这一特性可表示为 $\oint_{\Gamma(\Omega)} B · d\Gamma = 0$ ，意味着磁通量是守恒的。同样运用散度定理，得到微分形式 $\nabla · B = 0$ 。对 $\nabla · (\nabla × E) = -\nabla · \frac{\partial B