0022柱状图中最大的矩形

柱状图中最大的矩形

编号：0022

试题来源：leetcode

题目描述

给定$n$个非负整数，用来表示柱状图中各个柱子的高度。每个柱子彼此相邻，且宽度为1。

求在该柱形图中，能够勾勒出来的矩形的最大面积。

解答算法

算法思路

我们在思考最大的矩形的时候，可以任意选取一个柱子i，以其高度height[i]作为基准，向左右两侧进行拓展，如果拓展到的柱子的高度大于等于height[i]，那么其可以作为以当前高度作为高的举行的一部分，如果小于，那么就可以得到其边界。

这样可以得到左右边界，有了左右边界，同时又有高度，就有了面积。

要得到左右边界，最笨的方法是对其进行两次遍历，每一次都要从当前位置i进行向左向右遍历，显然最坏的时间复杂度为$O(n)$。

我们可以使用一个栈stack存放单调的heigth[i]。考虑这样一个事实，如果有$height[i]\ge height[j]且i<j$，那么显然从大于$i$的一个位置进行寻找边界，无论如何也不能选取$i$作为左边界，因为$j$挡住了$i$，因此可以设置这样一个单调栈stack，存放height[i]，以单调递增的顺序存放。

当我们处理位置i的时候，假设栈中已经存在$a_0,a_1,\dots ,a_k,a_{k+1},\dots ,a_m$，那么假设$height[i]>a_k$，那么显然$a_{k+1},\dots ,a_m$都不能阻挡i的向左拓展，因此$k$就是其左边界。要找到左边界，我们只需要将栈顶大于等于height[i]的值都pop出来，然后当前栈顶的坐标就是左边界。得到左边界后再将$heigth[i]$加入栈中，形成新的单调栈

代码实现

class Solution {
public:
    int largestRectangleArea(vector<int>& heights) {
        int n = heights.size();   //数组长度
        vector<int> left(n), right(n);  //存储左右两个边界
        
        stack<int> mono_stack;   //定义一个栈
        for (int i = 0; i < n; ++i) {   //对原数组从左向右进行遍历，得到左边界
            while (!mono_stack.empty() && heights[mono_stack.top()] >= heights[i]) {  //当栈顶值大于等于当前值，移除
                mono_stack.pop();
            }
            left[i] = (mono_stack.empty() ? -1 : mono_stack.top());    //左边界的定义
            mono_stack.push(i);   //将当前值移入
        }

        mono_stack = stack<int>();    //对原数组进行从右向左进行遍历，得到右边界
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            while (!mono_stack.empty() && heights[mono_stack.top()] >= heights[i]) {
                mono_stack.pop();
            }
            right[i] = (mono_stack.empty() ? n : mono_stack.top());
            mono_stack.push(i);
        }
        
        int ans = 0;    //对整个数组进行遍历，得到答案
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            ans = max(ans, (right[i] - left[i] - 1) * heights[i]);
        }
        return ans;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：整个过程中对数组只进行一次遍历，可以看出在单调栈的操作过程中，我们对每个元素只进行了一次入栈操作，同时也最多只有一次出栈操作，因此时间复杂度为$O(n)$
• 空间复杂度：申请了左右边界数组，长度都为$n$，因此空间复杂度为$O(n)$