PKU 1707 Sum of powers 解题报告

具体的题目可以参看http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1707 。题目的大意是将以下式子:

转换成以下这种形式:

要求输入        

k

要求输出

例如:

所以当输入     2

输出为              6 2 3 1 0

 

 

本文作者参照KNUTH等的《具体数学》，做了如下推导:

可以推出

所以

通过以上两个式子，我们可以推出所有k的式子的情况。 

 

以下是实现源代码(其中多项式运算比较繁琐，有看到说直接用大数进行运算来得更加方便):

 

 
#include <iostream>
 
using namespace std;
 
long long C(long long, long long);
void init();
long long gcd(long long, long long);
 
class Rational...{

    public:

        long long numerator;   

        long long denominator;

        Rational(int num, int deno)...{

            numerator = num;

            denominator = deno;   

        }

        Rational()...{

            numerator = 0;

            denominator = 1;   

        }
};
 

Rational operator+ (const Rational &a, const Rational &b)...{

    Rational temp;

    temp.numerator = a.numerator * b.denominator + a.denominator * b.numerator;

    temp.denominator = a.denominator * b.denominator;

    int com = gcd(temp.denominator, temp.numerator);

    temp.numerator /= com;

    temp.denominator /= com;

    return temp;
}
 

Rational operator- (const Rational &a, const Rational &b)...{

    Rational temp;

    temp.numerator = a.numerator * b.denominator - a.denominator * b.numerator;

    temp.denominator = a.denominator * b.denominator;

    int com = gcd(temp.denominator, temp.numerator);

    temp.numerator /= com;

    temp.denominator /= com;

    return temp; 
}
 

Rational operator* (const Rational &a, const Rational &b)...{

    Rational temp;

    temp.numerator = a.numerator * b.numerator;

    temp.denominator = a.denominator * b.denominator;

    int com = gcd(temp.denominator, temp.numerator);

    temp.numerator /= com;

    temp.denominator /= com;

    return temp;   
}
 

Rational operator/ (const Rational &a, const Rational &b)...{

    Rational temp;

    temp.numerator = a.numerator * b.denominator;

    temp.denominator = a.denominator * b.numerator;

    int com = gcd(temp.denominator, temp.numerator);

    temp.numerator /= com;

    temp.denominator /= com;

    return temp;   
}
 
 
long long C(long long n, long long k)...{

    k = n - k < k ? (n - k) : k;

    long long temp = 1;

    for(int i = 1; i <= k; i++)...{

        temp = temp * (n - i + 1) / i;

    }   

    return temp;
}
 
Rational coeff[21][22];
int M[21];
 
void init()...{

    M[0] = 1;

    coeff[0][0].numerator = 1;

    coeff[0][0].denominator = 1;

    coeff[0][1].numerator = 1;

    coeff[0][1].denominator = 1;

    for(int i = 1; i <= 20; i++)...{

        for(int j = 0; j <= i + 1; j++)...{       //coeff

            coeff[i][j].numerator = C(i + 1, j);

            coeff[i][j].denominator = 1;

           

            for(int h = 0; h < i; h++)...{            //level

                Rational temp(C(i + 1, i + 1 - h), M[h]);

                coeff[i][j] = coeff[i][j] - temp * coeff[h][j];

            }
                           

        }

       
 

                   int common = 1;

                   int denoMul = 1, numMul = 1;

                   for(int j = 0; j <= i + 1; j++)...{

                            coeff[i][j].denominator = coeff[i][j].numerator == 0 ? 1 : coeff[i][j].denominator;

                            common = gcd(coeff[i][j].denominator, denoMul);
                           

                            denoMul = coeff[i][j].denominator / common * denoMul;
                   }

                   M[i] = denoMul * (i + 1);

                   for(int j = 0; j <= i + 1; j++)...{

                            coeff[i][j].numerator *= denoMul / coeff[i][j].denominator;

                            coeff[i][j].denominator = 1;

                   }
    }   
}
 
long long gcd(long long a, long long b)...{

    if(a == 0 || b == 0)return 1;

         if(a < 0)a = -a;

         if(b < 0)b = -b;

    if(a >= b)
    ...{

        if(a % b == 0)return b;

        return gcd(b, a % b);   

    }else ...{

        if(b % a == 0)return a;

        return gcd(a, b % a);   
    }
}
 
int main().{

    init();

    int k;

    while(cin >> k)...{

        cout << M[k];

        for(int i = k + 1; i >= 0; i--)...{

            cout << " " << coeff[k][i].numerator;   

        }

        cout << endl;
    }   

    return 0;
}
 
 

(p.s. 第一次在优快云写博，好累，Firefox下图片显示不出来，IE贴word中的图片显示老有问题。不过终于搞好了^_^)