单调栈的使用及扩展（下一个较大数、等待升温的天数、柱状图中的最大矩形）

栈（stack）是一种简单的数据结构，数据先进后出。单调栈实际上就是栈，利用一些巧妙的逻辑，使得每次新元素入栈后，栈内的元素都保持有序（单调递增或单调递减）

首先考虑一个问题：

给定一个数组，返回一个等长的数组，对应索引位置存储着比当前元素下一个更大元素，如果不存在这样的数，就存-1。

eg：给定数组[3,1,3,4,2]，则返回数组[4,3,4,-1,-1]  说明：第一个数3后面比它大的数4，第二个数1后面比它大的是3，第三个数3后面比它大的是4，第四个数4后面没有更大的数了，存-1，最后一个数2后面没有更大的数了，存-1。

 这样的题目，使用暴力法就可以解决，对每个元素后面都进行扫面，找到第一个更大的元素就行了，时间复杂度为O(n^2)。

换一种方法，我们可以这样考虑，结合上述例子，首先从数组的尾部开始遍历并找到下一个更大元素，对于末尾的数2，后面没有数据了，所以对应位置应该填-1，将末尾元素2入栈。接着遍历到前一个元素4，此时比较该元素和栈顶元素2的大小，比较小，出栈，此时栈为空，所以对应位置填-1，将元素4入栈；继续遍历元素3，此时栈顶元素为4，比较大，不用出栈，对应位置应该填4，将元素3入栈；继续遍历元素1，栈顶元素为3，比较大，不用出栈，对应位置应该填3，将元素1入栈；继续遍历元素3，此时栈内从栈顶开始有数据（1，3，4），栈顶元素为1，比较小，出栈，然后栈顶元素为3，不符合更大的要求，继续出栈，直到直到更大的数，此时栈顶是4，比较大，不用出栈，对应位置填4，将元素3入栈，至此，遍历结束，得到结果数组 [4,3,4,-1,-1]。

vector<int> nextGreaterElement(vector<int>& nums) {
    vector<int> ans(nums.size()); // 存放结果的数组
    stack<int> s;
    for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--) { 
        // 从数组末尾开始入栈，这样后面比较栈顶元素的时候最先遇到第一个比较大的数
        while (!s.empty() && s.top() <= nums[i]) {  // 判断大小
            s.pop(); // 将比当前数小的出栈，直到找到更大的数，或者找不到
        }
        ans[i] = s.empty() ? -1 : s.top(); // 该元素后面第一个较大的数
        s.push(nums[i]); // 进栈，之后接受大小比较
    }
    return ans;
}

根据每日气温列表，重新生成一个列表。对应位置的输出为：到下一次升温，至少需要等待的天数。如果气温在这之后都不会升高，请在该位置用 0 来代替。这道题和上述问题一模一样，至少存储的不再是更大数值本身，而是数组下标。这里不再累述，直接看代码。

vector<int> nextGreaterElement(vector<int>& nums) {
    vector<int> ans(nums.size()); 
    stack<int> s;
    for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--) { 
        while (!s.empty() && num[s.top()] <= nums[i]) {  
            s.pop(); 
        ans[i] = s.empty() ? 0 : s.top()-i; 
        s.push(i); 
    }
    return ans;
}

最后一个扩展应用是 求柱状图中最大矩形面积：

给定 n 个非负整数，用来表示柱状图中各个柱子的高度。每个柱子彼此相邻，且宽度为 1 。求在该柱状图中，能够勾勒出来的矩形的最大面积。

以上是柱状图的示例，其中每个柱子的宽度为 1，给定的高度为 [2,1,5,6,2,3]。图中阴影部分为所能勾勒出的最大矩形面积，其面积为 10 个单位。

示例: 输入: [2,1,5,6,2,3]    输出: 10

本题使用单调栈的思想，遍历一遍数组就可以得到最大矩形面积。思路是对于每一个柱子，我们求出能完全包含它的的矩形的面积，然后对所有柱子得到的面积求出其中的最大值即可。

那么对于某一个柱子我们如何求能完全包含它的矩形面积，比如对于第五个柱子，高度是已知的，我们只要求得最大的宽度，就可以得到包含该柱子的最大矩形面积。如何求最大宽度？宽度可以看出分左边界和有边界，都满足条件，就是到第一个比自己矮的柱子为止。

从头开始遍历，只要高度是递增的，就一直将下标入栈，表明目前遍历的柱子右边界还没到，一旦遍历到矮一点的柱子，我们就出栈并计算出栈柱子的矩形面积，（说明栈内有柱子右边界到了，宽度不能再增加了），直到当前这个矮柱子高度不比栈内的柱子低（说明栈内的柱子右边界还可能继续增加），将该位置的下标入栈。最后继续遍历重复上述操作。

宽度的左边界如何确定呢？左边界就是该位置向前查找直到第一个比自己矮的柱子位置，我们计算出栈的柱子矩形面积时，下一个栈顶柱子就是第一个比自己矮的柱子（因为栈内存放的元素始终是递增的），所以左边界就是下一个栈顶元素的下标，宽度就是当前遇到的这个矮柱子的下标减去栈顶元素的下标再减去1，即  i-stack.top()-1；若是栈为空了，说明该柱子左边界无限制，宽度从头开始，即为i 。 

 这里需要注意一点，因为我们是在出栈的时候计算矩形面积，要保证所有元素都出栈，所以我们在给定的数组尾部添加一个较小的值，保证原数组中的每一个柱子的矩形面积都能被计算。

结合代码很好理解，如下：

int RectangleArea(vector<int>& heights) {
     heights.push_back(-1);  //这里在尾部添加一个-1，为了使栈内元素都能出栈并计算矩形面积
     stack<int> st;
     int maxArea = 0;
     for(int i = 0;i<heights.size();i++)
     {
         while(!st.empty() && heights[i]<heights[st.top()])
         {
             int top= st.top();   
             st.pop();   
        //栈顶元素出栈，所以下面计算宽度时，栈顶元素就是当前出栈柱子的左边第一个较小的柱子下标
             maxArea = max(maxArea,heights[top]*(st.empty()? i:(i - st.top() -1)));
        //栈为空，则说明当前柱子左边边界无限制，宽度为i
         }
         st.push(i);
     }
     return maxArea;
}