bzoj 4632: 树的编码

最新推荐文章于 2022-04-24 13:16:41 发布

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#编码 #哈夫曼树 #题解

该博客详细介绍了如何利用哈夫曼树解决bzoj 4632题目中的树编码问题。通过分析根节点长度为0的特性，提出当子树根节点长度为x时，其子节点长度至少为x。如果子节点只有一个，编码与父节点相同；若有两个子节点，则分别加1和0。博主提出这是一个贪心问题，并给出了通过排序子节点并构建哈夫曼树来确定节点与父节点长度差的贪心策略，从而实现整体的时间复杂度为O(N*log2N)的解决方案。

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首先根节点的长度为0
我们观察，如果当前子树根节点长度为 $x$ ，那么他的子树内节点长度不小于 $x$
如果只有一个儿子，那么这个儿子编码和父亲编码是一样的
如果有两个儿子，那么这两个儿子分别 $+1$ 和 $+0$
显然这是一个贪心问题，考虑对于 $x$ 节点如何贪心
我们把它所有的儿子扒出来，然后按照 $size$ 排序，对于这些 $size$ 构建哈夫曼树，这样某个节点在哈夫曼树上的 $deep-1$ 就是这个节点与父亲的长度差
那么对于每个节点都这个做一遍就好了
时间复杂度 $O(N*\log_2{N})$

#include<bits/stdc++.h>
#define sp new int[cnt<<1]
const int N=100010;
using namespace std;
int to[N],nxt[N],sz,fir[N],size[N],n,S,tot;
long long ans;
void add(int x,int y){
    nxt[++sz]=fir[x],fir[x]=sz,to[sz]=y;
}
#define add2(x,y) tnxt[++tsz]=tfir[x],tfir[x]=tsz,tto[tsz]=y;
void dfs1(int x){
    size[x]=1;
    for(int u=fir[x];u;u=nxt[u]){
        dfs1(to[u]);
        size[x]+=size[to[u]];
    }
}
struct node{
    int x,v;
    bool operator<(const node&a)const{
        return v>a.v;
    }
};
void dfs(int x,int*dfn,int*l,int dep,int*tfir,int*tnxt,int*tto){
    if(x<=S){
        dfn[++tot]=x;l[tot]=dep;return;
    }
    for(int u=tfir[x];u;u=tnxt[u]){
        dfs(tto[u],dfn,l,dep+1,tfir,tnxt,tto);
    }
}
void dfs2(int x,int len){
    ans+=len;
    priority_queue<node>q;
    int cnt=0;
    for(int u=fir[x];u;u=nxt[u]){
        cnt++;q.push((node){cnt,size[to[u]]});
    }
    if(!cnt)return;S=cnt;
    int *tfir=sp,tsz=0,*tnxt=sp,*tto=sp,*who=sp,*dfn=sp,*l=sp;
    for(int i=0;i<cnt<<1;i++)tfir[i]=tnxt[i]=tto[i]=who[i]=dfn[i]=l[i]=0;
    cnt=0;
    for(int u=fir[x];u;u=nxt[u]){
        cnt++;who[cnt]=to[u];
    }
    while(q.size()>1){
        node a=q.top();q.pop();
        node b=q.top();q.pop();
        ++cnt;add2(cnt,a.x);add2(cnt,b.x);
        q.push((node){cnt,a.v+b.v});
    }
    tot=0;
    dfs(cnt,dfn,l,0,tfir,tnxt,tto);
    for(int i=1;i<=(cnt+1)>>1;i++)dfs2(who[dfn[i]],len+l[i]);
}
int main(){
    scanf("%d\n",&n);
    for(int i=2;i<=n;i++){
        int x;scanf("%d",&x);add(x,i);
    }
    dfs1(1);
    dfs2(1,0);
    cout<<ans<<endl;
}