扩展欧几里得归纳算法中的推导公式解释

原创已于 2022-08-27 17:33:50 修改 · 176 阅读

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于 2022-08-27 17:32:03 首次发布

本文通过数学归纳法详细推导了扩展欧几里得算法中的关键递推公式，利用具体数值实例展示了如何逐步求解最大公约数及其系数。

在《程序设计艺术》中关于扩展欧几里得归纳算法中有个公式：

a = a' - qa; b = b' -qa，推导如下：

中的除法算法： n = qd + r 且 0<= r < d ； =》r = n -qd;

根据对如下数字序列观察：

可以看出如下规律：

d为当前最终值，c1,c2,c3...cn序列可以看出前一段的值；其中 $d_{i}$ = $r_{i-1}$ ; ci=ri-2;

( $a_{i}$ , $b_{i}$ , $c_{i}$ , $d_{i}$ )为 a,b, c, d的上一阶段的值；

等式： a'm+b'n =c （公式1）和 am+bn= d（公式2）总是成立。将c = qd+r代入得出：

a'm + b'n = q(am+bn) + r =>r = (a'-qa)m + (b'-qb)n (公式3）。

公式3不改变公式1和2的形式，即公式1和2成立，则3也成立（注：公式3表示当前的值）。

上述是数学归纳证明，下面找递推公式，就是找出 ( $a_{i}$ , $b_{i}$ , $c_{i}$ , $d_{i}$ , $q_{i}$ ) <--( $a_{i-1}$ , $b_{i-1}$ , $c_{i-1}$ ,, $d_{i-1}$ , $q_{i-1}$ )之间的关系：

由上述关系1： $d_{i}$ = $r_{i-1}$ ==》 $d_{i}$ = $c_{i-1}$ - $q_{i-1}$ $d_{i-1}$

由上述关系2： $c_{i-1}$ = $d_{i-2}$ ==》 $d_{i}$ = $d_{i-2}$ - $q_{i-1}$ $d_{i-1}$ 进一步推导出：

$d_{i}$ = （ $a_{i-2}$ - $q_{i-1}$ $a_{i-1}$ ) m + ( $b_{i-2}$ - $q_{i-1}$ $b_{i-1}$ )n (I)

同时： $d_{i}$ = $a_{i}$ m + $b_{i}$ n (II);

由上可以推导出： $a_{i}$ = $a_{i-2}$ - $q_{i-1}$ $a_{i-1}$ ；

$b_{i}$ = $b_{i-2}$ - $q_{i-1}$ $b_{i-1}$

即a m + b n = d 的系数 a，b的递推公式