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最新推荐文章于 2023-05-22 19:32:48 发布

原创最新推荐文章于 2023-05-22 19:32:48 发布 · 162 阅读

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本文介绍了一种计算二维平面上两指定点间最短路径的方法，该路径需绕过一个固定的小圆形障碍物，并限制在另一个更大的圆形区域内。文章提供了具体的数学推导过程及实现代码，包括如何判断线段与圆之间的相交情况，以及当发生相交时如何计算经过圆弧的路径长度。

给一个大圆，只能在大圆范围内行走。
再在大圆内部给一个小圆，不能从小圆上行走。
指定了出发点和目的地s t，问从s到t的最短路径长度。

很显然如果线段与圆不相交，直接走过去就行。
线段如果与圆相交，则先沿着点到圆的切线走到圆上，再在圆上走过一段弧，最后相切走到目的地。

关键点：判断线段是否与圆相交
通过画图可以发现，如果相交，则能找到两个相切三角形。
两个相切三角形，圆心那个顶点的角相加应小于s与t到圆心连线的夹角。
所以只需要将大角与两个三角形的角比较即可。
不要忘了顺带存一下二者的差（也就是中间圆弧对应角），算圆弧长度的时候还要用上。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

double rad;     //记录弧度值

struct node{
    double x,y;
};

double gd(node a,node b){   //获取两点距离
    return sqrt((b.x-a.x)*(b.x-a.x)+(b.y-a.y)*(b.y-a.y));
}

double gd2(node a,node b){  //获取两点距离的平方，为了保持精度不宜先计算d后平方，建议直接不开方再写个函数
    return (b.x-a.x)*(b.x-a.x)+(b.y-a.y)*(b.y-a.y);
}

double dj(node from,node to1,node to2){ //点积
    double x1=from.x-to1.x;
    double x2=from.x-to2.x;
    double y1=from.y-to1.y;
    double y2=from.y-to2.y;
    return x1*x2+y1*y2;
}

struct line{
    node n1,n2;
    double d;
    void build(node a,node b){
        n1=a;
        n2=b;
        d=gd(n1,n2);
    }
    bool check(node a,double r){    //检查圆是否与直线相交，a为圆心，r为半径
        double d1=gd(a,n1);
        double j1=acos(r/d1);
        double d2=gd(a,n2);
        double j2=acos(r/d2);
        double j=j1+j2;     //相切三角形的二角之和
        double k=acos(dj(a,n1,n2)/(d1*d2)); //(d1*d2)一定要带着括号，不然变成了先/d1后*d2，导致wa
        rad=k-j;    //获取中间圆弧的弧度
        if(rad>0) return 1;//相交
        return 0;//不相交
    }
};

int main(){
    double ans=0;
    double r;
    node s,t,o;
    line l;
    cin>>s.x>>s.y;
    cin>>t.x>>t.y;
    cin>>o.x>>o.y>>r;   //大圆没用，后面直接覆盖掉
    cin>>o.x>>o.y>>r;
    l.build(s,t);
    if(!l.check(o,r)){
        cout<<l.d;
    }else{
        ans+=sqrt(gd2(s,o)-r*r);
        ans+=sqrt(gd2(o,t)-r*r);
        ans+=rad*r;
    }
    cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(10)<<ans;
    return 0;
}