HDU-6057 Kanade's convolution(多项式FWT)

最新推荐文章于 2020-06-13 15:50:35 发布

原创最新推荐文章于 2020-06-13 15:50:35 发布 · 424 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

FWT 专栏收录该内容

0 篇文章

订阅专栏

本文详细解析了HDU-6057题目的官方解答过程，重点介绍了如何利用快速沃尔特变换(FWT)进行高效计算。通过分析输入数据的比特位特征，结合特定的数学逻辑，最终实现了复杂度优化。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

HDU-6057
官方题解

解释一下官方题解：
因为y中为0的位置,x中若为1,肯定a,b该位置上都为1，若为0, a和b该位置都为0，即y中为0的位置,确定x后,a和b的该位置上的值都是确定的, 而y中为1的位置，x中肯定为1，a,b有 a1b0,a0b1两种选择。于是最后有 $2^{bit(y)}$ 种选择方法。
重写式子的前三步很容易理解
最后一步可以证明
若x xor y =k 则 x and y =y <==> bit[x]-bit[y]=bit[k]
从左向右显然
从右向左 k中为0的位置，x和y一定相同。而k中为1的位置，x和y的位置肯定不同，这些位置有bit[k]个，只有当这些位置 x均为1,y均为0时可以使条件成立，此时x and y = y。

如下代码实际执行了一个按位中1个数分类，然后根据位数之差FWT的过程
因为FWT可以线性相加，c[i]数组其实同时执行了b和a位数差为i的所有的FWT,它们的和累加在了一起。
注释里是错误写法，它没有把之前对应数组的所有FWT后的值累加到一个数组中

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int MAXN=1<<20;
const int MOD=998244353;
const int inv2=(MOD+1)>>1;
void fwt(int a[],int len,int mode)
{
    if(mode)
        for(int d=1;d<len;d<<=1)
            for(int m=d<<1,i=0;i<len;i+=m)
                for(int j=0;j<d;j++)
                {
                    int x=a[i+j],y=a[i+j+d];
                    a[i+j]=(x+y)%MOD,a[i+j+d]=(x-y)%MOD;
                }
    else
        for(int d=1;d<len;d<<=1)
            for(int m=d<<1,i=0;i<len;i+=m)
                for(int j=0;j<d;j++)
                {
                    int x=a[i+j],y=a[i+j+d];
                    a[i+j]=1ll*(x+y)*inv2%MOD,a[i+j+d]=1ll*(x-y)*inv2%MOD;
                }
}
int m,len,bit[MAXN];
void init()
{
    len=1<<m;
    for(int i=0;i<len;i++)
        bit[i]=bit[i>>1]+(i&1);
}
int a[22][MAXN],b[22][MAXN],c[22][MAXN];
int main()
{
    scanf("%d",&m);
    init();
    int ta,tb;
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        scanf("%d",&ta);
        a[bit[i]][i]=1ll*ta*(1<<bit[i])%MOD;
    }
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        scanf("%d",&ta);
        b[bit[i]][i]=ta;
    }
    for(int i=0;i<=m;i++)
    {
        fwt(a[i],len,1);
        fwt(b[i],len,1);
    }
    for(int i=0;i<=m;i++)
        for(int j=i;j<=m;j++)
            for(int k=0;k<len;k++)
                c[j-i][k]=(c[j-i][k]+1ll*b[j][k]*a[i][k]%MOD)%MOD;
//    for(int k=0;k<len;k++)
//        for(int i=bit[k];i<=m;i++)
//        {
//            c[bit[k]][k]=c[bit[k]][k]+1ll*b[i][k]*a[i-bit[k]][k]%MOD;
//        }
    for(int i=0;i<=m;i++)
    {
        fwt(c[i],len,0);
        for(int j=0;j<len;j++)
            if(c[i][j]<0)
                c[i][j]+=MOD;
    }
    long long ans=0,tmp=1;
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        ans+=c[bit[i]][i]*tmp%MOD;
        tmp=tmp*1526%MOD;
    }
    ans%=MOD;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}