SPOJ-HJB Segmentation(RMQ+BIT)

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#RMQ #树状数组

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树状数组

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本文介绍了解决SPOJ-HJB问题的方法，采用离散化处理结合树状数组与RMQ查询，实现了O(nlogn)的时间复杂度。通过递归分解区间，利用树状数组维护区间信息，最终计算出给定数列的特定条件下的区间对数量。

SPOJ-HJB

$给出一段长度为n(1\le n\le 500000)的数列A(0\le a[i]\le 10^9)，定义f(a,b)=\min\{A[i]|a\le i \le b\}求该数列的$

$\sum 1 \leq a \leq b < c \leq d \leq n [f (a, b) \leq f (c, d)] (mod 109 + 7)$ $\sum_{1\le a\le b\lt c\le d\le n}[f(a,b)\le f(c,d)]\pmod{10^9+7}$

$首先离散化,对于区间[l，r],RMQ找值最小的位置pos,计算含有这个位置的区间个数tot=(pos-l+1)(r-pos)\\这些区间的f值都为a[pos]，树状数组中求得小于等于它的区间个数num,这些区间的影响为tot*num\\再加上这个区间中含有该位置的区间对答案的影响为\frac {(pos-l+1)(r-pos)(r-pos+1)(r-pos+2)}6(推导过程略)\\递归处理 [l,pos-1],[pos+1,r]，最后再把tot插入树状数组中。\\注意模防止溢出，复杂度为O(nlogn)$

#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=5e5+7;
const int mod=1e9+7;
int n,m;
int dp[maxn][22];
int mm[maxn],a[maxn];
int bit[maxn];
int inv6;
vector<int> hh;
void initRMQ(int n,int b[])
{
    mm[0] = -1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        mm[i] = ((i&(i-1)) == 0)?mm[i-1]+1:mm[i-1];
        dp[i][0] = i;
    }
    for(int j = 1; j <= mm[n]; j++)
        for(int i = 1; i + (1<<j) -1 <= n; i++)
        {
            int ll=dp[i][j-1],rr=dp[i+(1<<(j-1))][j-1];
            if(a[ll]<a[rr])
                dp[i][j] = ll;
            else
                dp[i][j] = rr;
        }
}
int qpow(int a,int b)
{
    long long r=1,x=a;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            r=r*x%mod;
        b>>=1;
        x=x*x%mod;
    }
    return r;
}
int rmq(int x,int y)
{
    int k = mm[y-x+1];
    int ll=dp[x][k],rr=dp[y-(1<<k)+1][k];
    if(a[ll]<a[rr])
        return ll;
    else
        return rr;
}
int getid(int x)
{
    return lower_bound(hh.begin(),hh.end(),x)-hh.begin()+1;
}
void add(int x,int d)
{
    while(x<=n)
    {
        bit[x]=(bit[x]+d)%mod;
        x+=x&-x;
    }
}
int sum(int x)
{
    int res=0;
    while(x)
    {
        res=(res+bit[x])%mod;
        x-=x&-x;
    }
    return res;
}
long long ans=0;
void divide(int L,int R)
{
    if(L>R)
        return ;
    int pos=rmq(L,R),res=0;
    int val=getid(a[pos]),rl=R-pos;
    res=(pos-L+1ll)*rl%mod*(rl+1)%mod*(rl+2)%mod*inv6%mod;
    long long tot=(pos-L+1ll)*(rl+1)%mod;
    ans=(ans+tot*sum(val))%mod;
    ans=(ans+res)%mod;
    divide(L,pos-1);
    divide(pos+1,R);
    add(val,tot);
}
int main()
{
    inv6=qpow(6,mod-2);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        hh.push_back(a[i]);
    }
    initRMQ(n,a);
    sort(hh.begin(),hh.end());
    divide(1,n);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}