递推法 - 大数阶乘问题

本文介绍使用递推法解决大数阶乘问题,通过递推性质计算n(n<=100)的阶乘,并用数组存储超过整数范围的结果。程序思路是对(k-1)!进行k-1次累加得到k!。

递推法:

      要求问题规模为N的解,当N=1时,解或为已知,或能非常方便的得到解。当得到问题规模为i-1的解后,由问题的递推性质,能从已经求得的规模为1,2,...,i-1的一系列解,构造出问题规模为i的解。这样,程序可从i=0或i=1出发,重复的,由已知至i-1规模的解,通过递推,获得规模为i的解,直至得到规模为N的解。

 

题目:

      编写程序,对给定的n(n<=100),计算并输出k的阶乘k!(k=1,2,...,n)的全部有效数字。

思路:

      要求的整数超出了范围,用数组来存储。a[0]存储长整数的位数m,例如5! = 120存为{3,0,2,1}。计算k!可采用对已经求得的(k-1)!连续累加k-1次后求出。

 

程序代码:

 

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>

#define MAXN 1000

// 已知a中的(k - 1)!,求出k!
void pnext(int a[], int k) {
	
	int *b, m = a[0], i, j, r, carry;
	b = (int *)malloc(sizeof(int) * (m + 1));
	for(i = 1; i <= m; i++) b[i] = a[i];
	for(j = 1; j < k; j++) { // 控制累加k-1次
		for(carry = 0, i = 1; i <= m; i++) {
			// 这里的a[0]保存的是(k-1)!的位数,m则是k!的位数,所以m变化后会大于a[0]
			r = (i <= a[0] ? a[i] + b[i] : a[i]) + carry;
			a[i] = r % 10; carry = r / 10;
		}
		if(carr
<think>好的,用户想知道在计算阶乘和时是否用到了倍增法。首先,我需要明确倍增法的定义和应用场景。根据引用[1],倍增法的核心是通过逐步翻倍的方式减少重复计算,比如在RMQ和LCA问题中的应用。而阶乘和指的是计算多个阶乘之和,例如1! +2! +... +n!。接下来,我需要分析常见的阶乘计算方法。通常,计算阶乘和会直接逐个计算每个阶乘然后相加。比如,计算n=5时,分别计算1!,2!,3!,4!,5!然后相加。这种方法的时间复杂度是O(n^2),因为每个阶乘需要O(n)时间,总共有n个阶乘。这种情况下没有用到倍增法,而是简单的迭代。然后,考虑是否有优化方法可能用到倍增法的思想。例如,引用[3]提到快速阶乘算法,其中可能涉及多项式点值平移等技术。但这里的快速算法可能属于分治或FFT(快速傅里叶变换)的范畴,而非倍增法。倍增法更常用于预处理和跳跃查询,如LCA中的跳跃表结构,而不是直接计算值乘积。再考虑用户提供的引用内容。引用[2]提到算法的时间复杂度分析中,大O表示法会忽略低阶项和常因子,这可能与阶乘计算的优化有关,但未直接关联倍增法。引用[1]中的欧几里得算法是用于最大公约,与阶乘和无关。因此,用户提供的引用未直接支持阶乘和使用倍增法的情况。需要进一步确认是否有特殊场景下使用倍增法计算阶乘和。例如,是否存在某种递推关系,可以利用之前的结果来加速计算。例如,计算n!时可以利用(n-1)!的结果,但这属于动态规划或简单迭代,而非倍增法。倍增法的关键在于利用指级的跳跃,如每次处理2^k的步骤,这在阶乘和的计算中似乎没有体现。总结,常规的阶乘计算未使用倍增法,而是通过迭代或更高效的学方法。但需指出可能的例外情况,如某些学优化可能结合了类似思想,但通常不被归类为倍增法。因此,回答应指出一般情况下不使用,但可能存在特定优化技术,不过这些通常属于其他算法类别。</think>### 阶乘计算与倍增法的关系分析 #### 1. **常规阶乘计算方法** 计算阶乘和(例如$S_n = 1! + 2! + \cdots + n!$)通常采用**直接迭代法**,即逐项计算阶乘后累加。例如: $$S_n = \sum_{k=1}^n k! = 1! + 2! + \cdots + n!$$ 每次计算$k!$时直接利用前一项的结果: $$k! = (k-1)! \times k$$ 这种方法的时间复杂度为$O(n^2)$(每个阶乘需$O(k)$时间,总共有$n$项),未使用倍增法[^2]。 #### 2. **倍增法的适用性** 倍增法的核心是通过**分阶段预处理**和**跳跃式查询**优化计算,例如: - 在RMQ问题中预处理长度为$2^k$的区间极值[^1] - 在LCA问题中预处理节点向上跳$2^k$步的祖先[^1] 而阶乘和的计算是**逐项累加的线性过程**,无法直接利用倍增法的跳跃式优化思想。阶乘的递推关系是$k! = (k-1)! \times k$,每一步仅依赖前一项结果,无法通过倍增跳过中间步骤。 #### 3. **可能的优化方法** 虽然常规方法未使用倍增法,但**快速阶乘算法**(如引用[3]提到的多项式点值平移技术)可能涉及分治或论变换(NTT): - 通过多项式插值减少乘法次 - 利用快速傅里叶变换(FFT)加速大数阶乘计算 但这些方法属于**分治算法**或**快速论变换**范畴,与倍增法有本质区别。 #### 4. **结论** 在标准阶乘计算中,**倍增法未被直接使用**。若需优化计算效率,通常会选择: 1. **动态规划**:缓存已计算阶乘值(如`fact[k] = fact[k-1] * k`) 2. **学优化**:利用斯特林公式近似计算阶乘 3. **计算**:对大规模阶乘分解任务进行行处理 ```python # 常规阶乘计算示例(时间复杂度O(n^2)) def factorial_sum(n): total = 0 current_fact = 1 for k in range(1, n+1): current_fact *= k total += current_fact return total ``` --- ###
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