图形学基础 （六）介绍重心坐标的应用

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#几何学 #计算机视觉 #深度学习

本文探讨三角形内部插值技术，包括利用重心坐标计算内部属性、重心坐标的局限性以及纹理贴图应用中的不匹配、尺寸问题和双线性/双三次插值解决方案。重点介绍了纹理过大导致的透视投影失真及超采样应对策略。

文章目录

三角形内部插值

  • 为什么对三角形内部做插值？

    因为我们得到的是三角形顶点的内容， 内部的像素的值需要插值得到且为平滑过渡

  • 那插值什么内容呢？

三角形的顶点有许多内容， 比如它可以定义到它映射到texture上的不同的uv坐标， 颜色， 法线方向

####　重心坐标

可以借助三个顶点的线性组合得到重心坐标，　而且着三个数加起来都是１，所以只要知道两个数就行了，　而且都是非负的

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对于任意一个点的 α   β   γ \alpha \ β \ γ α β γ

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前言 在前面的文章中我们经常提到知道某个三角形三个顶点的属性，然后就可以求出三角形内部某一点对应的属性。例如深度缓存的时候，高洛德着色的时候等等，但是我们一直没有说具体应该如何计算，本文就来介绍一下这一部分内容。 想要计算三角形内部某一点对应的属性，也就是我们一直说的三角形的插值，就需要用到重心坐标的概念。 直线的重心坐标 在讲三角形的重心坐标前，我们先来看一看直线上的重心坐标是怎么定义的。 在生活中想必大家都看过或挑过担子吧，人们在担子两边挂上重物，然后用肩膀扛起担子。如果担子两边的物体差.
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重心坐标（Barycentric Coordinates） 1 重心坐标的定义及求解1.1 基础定义1.2 几何面积角度求解 本节会分两部分分别介绍重心坐标的定义以及解法和重心坐标在图形学中的运用 1 重心坐标的定义及求解 1.1 基础定义 给定三角形的三点坐标A, B, C，该平面内一点(x,y)可以写成这三点坐标的线性组合形式，即 (x,y)=αA+βB+γC(x,y) = \alpha A...
现代计算机图形学笔记（七）——重心坐标、应用纹理&Mipmap
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重心坐标(Barycentric Coordinates) 上几节课都提到了在三角形内部做插值，为了研究此问题，我们引入重心坐标(Barycentric Coordinates)。重心坐标的应用很广泛，如在像素着色器(Fragment shader)中我们已知三角形三个顶点的法向量，去插值求解三角形内部每个像素的法向量；在纹理映射时，我们已知三角形三个顶点在纹理坐标中的u,vu,vu,v值，去插值获得三角形内部纹理坐标的值。 我们定义三角形坐标系(coordinate system for triangle
16、广义重心坐标的应用
h3i4j的博客
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本文详细介绍了广义重心坐标的发展历史、不同类型的广义重心坐标及其特点，并探讨了其在变形模型中的应用实例。通过对比均值坐标、调和坐标和绿色坐标等技术，展示了广义重心坐标在保持变形自然性和形状保真度方面的优势。文章还深入探讨了其在复杂几何形状处理、角色动画、物体变形及医学图像处理中的具体应用，强调了其在计算机图形学和计算机动画领域的广泛前景。
在MATLAB中实现广义重心坐标的简单基础框架
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广义重心坐标（Generalized Barycentric Coordinates，简称GBC）是一种数学概念，主要用于多维空间中的点定位问题，特别是在有限元分析、计算机图形学和几何设计等领域具有重要作用。在多维空间中，广义重心坐标为...
计算机图形学中的数学基础与应用
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本书旨在为计算机图形学从业者提供必要的数学知识。...此外，书中还包括了重心坐标和例题解析等新增章节，进一步丰富了内容。通过对本书的学习，读者将能够更加自信地运用数学知识，解决计算机图形学中的各种难题。
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空间三角形与射线相交并求交点的重心坐标系表示 有如下几点可以了解。 1.重心坐标的数学定义  wiki  中文wiki  其中 中文wiki 中有一个图： 图中B顶点左下方区域的符号和C顶点右下方区域的符号应该是弄反了。B顶点左下方应为：（-，+，-）。C顶点右下方应为：（-，-，+） 注：小技巧，可能有时候通过关键字比较容易找到中文的
举例说明计算机图形学的主要应用领域,计算机图形学
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1、 举例说明计算机图形学的主要应用领域(至少说明5个应用领域)计算机及辅助设计与制造、可视化、图形实时绘制与自然景物仿真、计算机动画、用户接口、计算机艺术2、 分别解释直线生成算法DDA法、中点画线法和Bresenham法的基本原理。 DDA法：设过端点P0(x0 ,y0)、P1(x1 ,y1)的直线段为L(P0 ,P1)，则直线段L的斜率L的起点P0的横坐标x0向L的终点P1的横坐标x1步进...
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我们令m=1-k，令n=k，就可以得到P=mA+nB (m+n=1)，所以在已知AB的情况下，我们可以用m，n的坐标来表示直线上的任意一点，这也就叫做直线上的重心坐标。zt是插值点的深度，I是插值点的属性，zazbzc是插值点的深度，知道四个点的深度，和顶点的属性，还有重心坐标，插值出所求点的对应属性。还可以将顶点的其他属性，如颜色，法线，uv坐标，深度等，套重心公式插值得到三角形内任意一点。通常来说，三角形的重心坐标不需要考虑z的值，因为空间中的重心在平面上的正交投影上，重心的投影依然是三角形的重心。
图应用详解
zhiyikeji的博客
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在了解最小生成树之前，大家应该先知道什么叫生成树？ 生成树：所有顶均由边链接在一起，但不存在回路的图。 生成树具有以下特点：如下图所示： 知道了什么叫生成树了，在了解一下什么叫最小生成树构建最小生成树的的算法主要有两个，Prim算法、Kruskal算法，他们都是基于贪心算法的策略，我下面一一讲解一下。初始时从图中任意取一个顶点加入树T，此时树中只有一个顶点，之后选择一个与当前T中顶点集合距离最近的顶点，并将该顶点和相应的边加入T,每次操作后T中的顶点数和边数都增加1，依次类推，直至图中所有的顶点都加入T中，
图形学笔记【三角形重心坐标】的计算及其作用
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给定一个三角形的三个顶点，，，则三角形所在平面内的任意一点可表示为点 A，B，C 的坐标的线性组合其中， α+β+γ=1。若将 α，β，γ 看作点 A，B，C 的质量，则点 P 即为 △ABC 的重心，这样构建的坐标系因而得名重心坐标系。此时称α，β，γ 为点 P 在重心坐标系下的坐标，简称重心坐标。其中三角形的重心的重心坐标系为（1/3,1/3,1/3）.一种简化的计算方法：分母为两个大三角形的面积，分子为两个小三角形的面积点的重心坐标为（α,β,γ）= (α,β,1-α-β)...
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关于图形学的基础数学知识 基础数学 线性插值 三角形 重心坐标系：设定坐标原点a，a到b和c为基向量。构成非直角坐标系 重心坐标系长这样 重心坐标系特点： 重心坐标系优点： 例如城市街道交叉不成为直角，这时候重心坐标系就管用 已知点p如何求重心坐标 变成这个： 用几何方法解： 另外一种几何方法利用p求重心 三维三角形 ...
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图像的质心，也称为图像的重心。重心的概念可以参考如下的杠杆示意图，即杠杆重心两端的质量相等。扩展到图像上面，图像中每一点的像素值可以理解成此点处的质量。不同之处是图像是2维的，解决的方法是在x方向和y方向上分别独立地找出质心。即对于x方向的质心，图像在质心左右两边像素和相等；对于y方向的质心，图像在质心上下两边像素和相等。　　记图像中每一像素在x方向上坐标为：xi，对应的像素...
图像阶矩及重心计算
Taiyang625的博客
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这里的图像是单通道图像， V（i，j）V（i，j）表示图像在 (i,j)(i,j)点上的灰度值。我们可以发现，当图像为二值图时， M00就是这个图像上白色区域的总和，因此， M00可以用来求二值图像（轮廓，连通域）的面积。
图形学 重心坐标
03-24
### 关于重心坐标的定义 重心坐标是一种用于描述平面内某一点相对于三角形三个顶点位置的方法。其基本形式由三个分量组成，通常记作 \((\alpha, \beta, \gamma)\)，满足条件 \(\alpha + \beta + \gamma = 1\) 并且 \(0 \leq \alpha, \beta, \gamma \leq 1\)。如果给定一个三角形 ABC 和其中的一点 P，则可以利用几何关系来表达该点的位置[^1]。 对于特定情况下的几个特殊值来说，当某个系数等于1而其余两者皆为零时，这表明所指代的是对应的那个角上的定点；比如 A 的重心坐标即 (1,0,0)[^2]。 ### 如何计算重心坐标？ 一种常见的做法是从面积比例出发来进行推导。具体而言，在已知大三角形整体面积 S 及子区域各自独立的小三角形面积 Sa,Sb,Sc 后，可以通过下面的比例关系得出各参数： \[ \begin{aligned} &\text{{设}}~S_{ABC}=\text{{总三角形面积}}, \\ &\alpha = \frac {S_c}{S}, ~~~~ \beta= \frac {S_a}{S},~~~~ \gamma=\frac {S_b}{S}. \end{aligned} \] 这意味着每一个组成部分都代表剩余两节点构成的新形状占据原始图形中的份额大小。 另外还存在基于向量运算或者线性方程组解决方式得到精确数值解法[^3]。 ### 应用场景举例说明 在实际应用当中，这种技术被广泛应用于计算机图形领域之中，特别是在处理诸如光照效果模拟以及材质贴图映射等问题方面显得尤为重要。例如，在进行纹理映射的时候，我们经常需要用到插值得到中间像素的颜色信息，此时就可以借助上述提到过的原理完成高效准确的数据转换过程。 此外，在更复杂的三维环境建模过程中也会涉及到类似的思路扩展——透视校正插值（Perspective-Correct Interpolation），它能够帮助克服由于投影变形带来的失真现象，从而实现更加逼真的视觉呈现效果。 ```python def barycentric_coords(A,B,C,P): v0 = B - A; v1 = C - A; v2 = P - A d00 = np.dot(v0,v0);d01=np.dot(v0,v1);d11=np.dot(v1,v1); denom=d00*d11-d01*d01; # Compute u and v components of the point relative to triangle vertices. w=v2-v0*(np.dot(v0,v2)/denom)+v1*(np.dot(v1,v2)/denom) gamma=(d11*np.dot(v0,v2)-d01*np.dot(v1,v2))/denom beta=(-d01*np.dot(v0,v2)+d00*np.dot(v1,v2))/denom alpha=1-beta-gamma return alpha,beta,gamma ``` 以上代码片段展示了如何通过矢量操作快速获取指定平面上任一目标对象对应的权重分布状况。
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