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分段低次插值分段低次插值为什么需要分段低次插值分段线性插值分段三次Hermite插值三次样条插值第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件推导样条插值的方法第一类边界条件解法第二类边界条件解法第三类边界条件解法三次样条插值示例分段低次插值为什么需要分段低次插值之前拉格朗日插值时，可以发现，当插值节点很多时，会发生龙格现象，即在数据点的两端边缘出，多项式值与被插值的原函数差值很大。解决这种现象可以通过所谓的分段低次插值来逼近原函数，所谓分段低次插值，就是分段低次多项式，对每两个数据点之间的小区间进行低

埃尔米特（Hermite）插值为什么需要Hermite插值在部分插值应用中，不仅要求数据点函数值相等，还要求若干阶导数相同，满足函数值和若干导数值都相等的插值法成为Hermite插值。课件里只考虑了一阶导数相等情况。从差商看牛顿插值与泰勒插值与Hermite插值回忆一下差商定义：f[x0,x1]=f(x1)−f(x0)x1−x0f[x_0,x_1]=\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}f[x0​,x1​]=x1​−x0​f(x1​)−f(x0​)​如果一阶重节点差商定义为：

牛顿插值为什么要有牛顿插值拉格朗日插值简单方便，可以一下计算出基函数，但有其本身的缺陷，回忆下拉格朗日插值基函数的形式：lk(x)=(x−x0)(x−x1)...(x−xk−1)(x−xk+1)...(x−xn)(xk−x0)(xk−x1)...(xk−xk−1)(xk−xk+1)...(xk−xn)l_k(x)=\dfrac{(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})...(x-x_n)}{(x_k-x_0)(x_k-x_1)...(x_k-x_{k-1})(x_k

拉格朗日插值拉格朗日插值基函数拉格朗日插值基函数li(x)l_i(x)li​(x)，要求满足li(xj)=δijl_i(x_j)=\delta_{ij}li​(xj​)=δij​。那么插值多项式就为p(x)=∑i=0nyili(x)p(x)=\sum_{i=0}^ny_il_i(x)p(x)=i=0∑n​yi​li​(x)基函数具体形式可以是：lk(x)=(x−x0)(x−x1)...(x−xk−1)(x−xk+1)...(x−xn)(xk−x0)(xk−x1)...(xk−xk−1)(xk−xk

多项式插值这段时间关注了一个数值分析的课程，是华东师范大学潘建瑜老师的课，看了一遍课件，将内容梳理一下，做个笔记。什么是插值已知一个函数f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上有定义，且已知此区间有限个数据点：y0=f(x0),y1=f(x1),...y_0=f(x_0), y_1=f(x_1),...y0​=f(x0​),y1​=f(x1​),...找到一个函数p(x)p(x)p(x)，使得p(x)p(x)p(x)也经过所有数据点，则p(x)p(x)p(x)为f(x)f(x)f(