蓝桥杯平方差 C/C++ 省赛题目

原创已于 2023-06-25 18:04:19 修改 · 692 阅读

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#蓝桥杯 #c语言 #c++

于 2023-06-21 17:06:35 首次发布

该问题是一个编程算法题，要求找出所有满足条件的X，使得X=(y^2-z^2)/2，其中y和z是不同的自然数。解题的关键在于分析y和z的奇偶性对X的影响，将四种情况归结为两种结果：奇数和4的倍数。通过计算偶数的数量和判断偶数中4的倍数的个数来确定满足条件的X的个数。程序通过输入L和R的值，计算并输出在[L,R]范围内满足条件的X的个数。

题目

平方差
时间限制: 1.0 s 内存限制: 256.0 M B

要求：求出满足以下条件的X的个数

给定 $L$ , $R$ ， $L\leq x\leq R$ ， $y$ 和 $z$ 为任意不相等的自然数，求出有多少个 $x$ 满足

$x=y^{2}-z^{2}$ ， $1\leq L\leq R\leq 10^{9}$

解题思路

首先因式分解

$y^{2}-z^{2} = (y+z)(y-z)$

四种情况：

1、当y为奇数，z为奇数时：

$y+z$ 为偶数

$y-z$ 为偶数

偶数相乘，最小的因数为2，相乘最小因数为4，所以x在此情况下一定为4的倍数

2、当y为奇数，z为偶数时：

$y+z$ 为奇数

$y-z$ 为奇数

奇数相乘，一定为奇数

3、当y为偶数，z为奇数时：

$y+z$ 为奇数

$y-z$ 为奇数

奇数相乘，一定为奇数

4、当y为偶数，z为偶数时：

$y+z$ 为偶数

$y-z$ 为偶数

偶数相乘，最小的因数为2，相乘最小因数为4，所以此情况下一定为4的倍数

四种情况分出了两种结果，一种是奇数，另一种是4的倍数

所以我们需要找的是奇数，以及4的倍数。

因为题目有要求1s，且数据可能为 $10^{9}$ ，数据量比较大，所以我们就按着数学上的公式去推导一下偶数的个数：

$L\leq x\leq R$

又是4种情况,归纳一下变成，LR 都为奇数，LR一奇一偶，LR都为偶数

LR 都为奇数

偶数的个数为 (L+R）/2

LR一奇一偶

偶数的个数为(L+R+1)/2

LR都为偶数

偶数的个数为(L+R)/2+1

然后找4的倍数

偶数中4的倍数有几个取决于偶数的个数是奇数还是偶数

把总数减去偶数中不是4的倍数的个数就是我们呢得到的满足条件的个数

若偶数的个数为偶数则有一半为4的倍数，即满足条件的个数为:(R-L+1)-((even-1)/2);

若偶数的个数为奇数则需要判断单边是否为4的倍数，若为4的倍数则满足条件的个数为：(R-L+1)-((even-1)/2); 不为4的倍数则(R-L+1)-((even+1)/2);

	printf("请输入L:");
	scanf("%d",&L); 
	printf("请输入R:"); 
	scanf("%d",&R);
	time_start = clock(); 
	if(L%2==0)
	{
		L_Even=1;
	 	L_Odd=0;
	}
	else
	{
		L_Even=0;
	 	L_Odd=1;
	}
	if(R%2==0)
	{
		R_Even=1;
	 	R_Odd=0;
	}
	else
	{
		R_Even=0;
	 	R_Odd=1;		
	}
	if(L_Odd&&R_Odd)//双奇 
	{
		even =((R-L)/2);
	}
	else if(L_Odd||R_Odd) //单奇
	{
		even =(R-L+1)/2;
	} 
	else{			//双偶 
		even =(R-L)/2+1;
	} 
	if(even%2==0)//偶数个数为偶数 
	{
		i = (R-L+1)-(even/2);	
	}
	else
	{
		if((L+1)%4==0)
		{
			i = (R-L+1)-((even-1)/2);	
		}	
		else
		{
			i = (R-L+1)-((even+1)/2);	
		} 
	} 
	time_end = clock(); 
	printf("L是%d,R是%d偶数个数是%d,满足条件的个数为%d\n",L,R,even,i);
			
	printf("运行时间为%dms\n",time_start-time_end);

运行结果