22、优化与逆问题相关算法解析

优化与逆问题相关算法解析

1. 优化算法概述

在优化问题中，导数的可用性是实际应用的关键考量。使用导数的优化算法通常比无梯度方法更高效，因为导数信息能使搜索点在每次迭代中快速趋近最小值。然而，对于电磁结构，成本函数通常通过前向散射算法（如有限差分时域法或矩量法）评估，导数往往不可用。因此，我们聚焦于无需导数的算法。

处理缺乏解析导数的方法有两种：
- 准牛顿法：使用成本函数的样本估计导数。
- 无梯度算法：如Nelder - Mead单纯形法、共轭梯度算法或全局方法（如模拟退火）。

2. 一维优化算法

一维优化虽然计算挑战小于多维优化，但相关算法常作为共轭梯度和方向集算法的子程序。主要的无梯度算法有黄金分割搜索和抛物线插值。

2.1 黄金分割搜索

若存在点(a)、(b)、(c)，满足(f(b) < f(a))且(f(b) < f(c))，则在区间([a, b])内必定存在(f(x))的至少一个最小值。这样的点三元组((a, b, c))被称为包围最小值。黄金分割搜索法逐步用更小的包围区间替换原区间，直至满足收敛条件。

该方法的核心是在给定三元组内以最优方式选择下一个搜索点。通常在较宽区间选择新点(x)，假设(c - b > b - a)，则(x)位于(b)和(c)之间。对于原始三元组，有(\frac{c - b}{b - a} = \varphi)，其中(\varphi)是较大区间与较小区间的比值。

若新点(x)处的目标函数大于(f(b))，新三元组为((a, b, x))，且满足(\frac{b - a}{x - b} = \varp