21、有限元法与优化方法解析

有限元法与优化方法解析

有限元法

有限元法（FEM）在处理电磁问题等方面有着重要应用。在处理非均匀散射体时，FEM - BEM（有限元 - 边界元法）和体积矩量法都有各自的能力。对于给定的离散化密度，体积矩量法的数值精度比FEM - BEM更好。例如，对于半波长介质圆柱体，FEM - BEM需要两个大小为160 × 160的密集矩阵，而体积矩量法的矩阵大小为861 × 861，这意味着体积矩量法对内存存储的要求和矩阵求解时间更大。

下面是一些与有限元法相关的问题及操作步骤：
1. 边界值问题求解
- 解析解 ：需找到特定边界值问题的解析解。
- 数值解 ：数值求解线性系统，并将得到的电位样本与精确解进行比较，分析数值解误差，从电位解的行为和分段线性基函数的选择角度进行解释。
2. 线性系统确定
- 手动确定 ：手动确定六单元网格的线性系统。
- 修改线性系统 ：当区域填充两种不同介电常数的电介质时，找到修改后的线性系统。
3. 一维FEM算法实现
- 创建节点坐标向量 ：在区间[a, b]上为任意数量的节点创建节点坐标向量x，可生成规则网格。
- 创建数组t ：创建一个2 × Nel数组t(i, e)，记录每个单元的左右节点在向量x中的索引。
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