16、多尺度问题下线性系统求解的优化策略

多尺度问题下线性系统求解的优化策略

1. 预条件器在求解线性系统中的应用

在求解线性系统 $Ax = b$ 时，我们可以应用左预条件器 $M$，将原线性系统转化为 $M^{-1}Ax = M^{-1}b$。当对这个预条件化后的线性系统应用共轭梯度法（CG）或其他算法时，决定收敛性的条件数是 $M^{-1}A$ 的条件数。我们的目标是选择合适的 $M$，使得 $\kappa(M^{-1}A) \ll \kappa(A)$，这样预条件迭代算法的收敛速度会更快。

在实现预条件迭代时，我们并不实际计算 $M^{-1}$ 或它与 $A$ 的乘积。而是在每次迭代中求解 $My = c$ 来引入预条件器。如果 $M$ 等于 $A$，那么求解这个方程的工作量与求解原线性系统相同，且迭代只需一步。我们希望 $M$ 与 $A$ 相似，使得预条件矩阵的条件数尽可能接近 1，同时线性系统 $My = c$ 易于求解。

预条件器的构建方式有两种：一种是直接从矩阵 $A$ 构建，另一种是根据产生 $A$ 的问题的物理特性来确定 $M$ 的形式。在计算电磁学（CEM）中，常见的预条件器是近邻相互作用矩阵，或者是涉及附近测试函数和展开函数的矩量矩阵元素。对于二维散射问题，这会得到一个带状矩阵；在三维情况下，矩阵通常是稀疏的。近邻区域的物理半径决定了预条件器的有效性，但半径越大，$M$ 的非零元素越多，每次迭代中求解 $My = c$ 的难度也越大。为了提高效率，针对稀疏和带状预条件器提出了近似逆方法，使得在每次迭代中以较低的计算成本近似求解 $My = c$。

2. 电磁边界值问题求解难度与频率的关系

对于给定的结构，求解电磁边界值问题的难度与激励频率密切相关。在频谱