11、规则直方图规则的深入探讨

规则直方图规则的深入探讨

1. 规则直方图规则概述

规则直方图规则将 (R^d) 划分为相同大小的立方体，根据 (Y_i) 中 0 和 1 的数量做出决策。这里用 (P_n = {A_{n1}, A_{n2}, …}) 表示将 (R^d) 划分为大小为 (h_n > 0) 的立方体的划分，即形如 (\prod_{i = 1}^{d}[k_ih_n, (k_i + 1)h_n)) 的集合，其中 (k_i) 为整数。直方图规则定义如下：
对于每个 (x \in R^d)，若 (x \in A_{ni})，则 (A_n(x) = A_{ni})。当 (x) 所在单元格中 1 的数量不超过 0 的数量时，决策为 0。在 (h_n \to 0) 且 (nh_n^d \to \infty)（(n \to \infty)）的条件下，该规则的弱普遍一致性已得到证明。接下来我们将引入一些技术来证明其强普遍一致性，这些技术在处理其他问题时也非常有用，首先介绍有界差分方法。

2. 有界差分方法

2.1 鞅和鞅差分序列的定义

• 鞅的定义 ：考虑概率空间 ((\Omega, \mathcal{F}, P))，随机变量序列 (Z_1, Z_2, …) 若满足对于每个 (i > 0)，(E{Z_{i + 1}|Z_1, …, Z_i} = Z_i) 且概率为 1，则称其为鞅。若 (Z_1, Z_2, …) 关于随机变量序列 (X_1, X_2, …) 满足对于每个 (i > 0)，(Z_i) 是 (X_1, …, X_i) 的函数，且 (E{Z_{i + 1}|X_1, …, X_i} = Z_i) 概率