基于博弈论的边缘计算资源分配

一种基于斯塔克尔伯格博弈的移动边缘计算中多资源分配与定价方法

摘要

移动边缘计算是一种能够增强终端设备计算能力并减轻传输过程中通信流量负载的新范式，对于新兴的资源密集型移动应用具有重要意义。然而，移动边缘计算系统面临的一个关键挑战是在移动边缘云（MECs）与终端用户（EUs）之间进行多资源分配，尤其是在多个异构的移动边缘计算节点和终端用户场景下。为解决这一问题，我们提出了一种基于斯塔克尔伯格博弈的框架，其中终端用户（EUs）和移动边缘计算服务器（MECs）分别作为跟随者和领导者。该框架旨在求解一个斯塔克尔伯格均衡解，在此解中，每个MEC实现收入最大化，同时每个EU在预算约束下获得效用最大化的资源。我们将多资源分配与定价问题分解为一组子问题，每个子问题仅考虑单一资源类型。针对每个子问题构建斯塔克尔伯格博弈框架，使得每个参与者（即一个EU）能够在策略空间中选择适当的策略以自私地最大化其效用。我们证明了子博弈斯塔克尔伯格均衡的存在性，并设计了算法来确定每种资源类型的斯塔克尔伯格均衡，包括用于确定EU最优资源需求策略的最优需求计算算法以及用于寻找均衡价格的迭代算法。所有子博弈的均衡解共同构成原问题的均衡解。我们还对所提出的博弈进行了仿真实验，包括关于斯塔克尔伯格均衡的数值数据、斯塔克尔伯格均衡收敛性的数值数据以及随着系统规模增大时的数值数据。最后，我们展示了拥有空闲资源的EU可以扮演MEC的角色。

1. 引言

移动边缘计算是一种新型的计算范式，能够有效弥补传统云的诸多不足，例如减少网络流量并提升用户体验。在移动边缘计算中，多种类型的资源（包括计算、存储、控制和网络资源）通常在地理上靠近终端用户（EUs）。通过利用移动边缘计算，普通智能移动设备的处理能力可以得到显著提升，甚至能够实现笔记本电脑或台式机都无法完成的功能。各种设备，如智能手机、接入点和基站（BSs），均可作为移动边缘计算节点或多接入边缘计算服务器（MECs）[1]。例如，智能手机是个人与云之间的边缘，而智能家居中的网关是家用设备与云之间的边缘。此外，边缘计算是满足新系统和低延迟应用（如嵌入式人工智能、5G网络、虚拟/增强现实和触觉互联网）严格要求的关键技术。

尽管移动边缘计算具有巨大潜力，但仍处于起步阶段，面临着诸多新的挑战，如编程模型、网络架构设计、物联网支持、资源管理与供给、资源分配、安全与隐私以及边缘设备的可扩展性[1–3]。本文聚焦于一种移动边缘计算系统中的多资源分配与定价问题，其中不同的边缘用户在由多个多接入边缘计算服务器组成的资源池中竞争资源。

与计算能力几乎无限但远离边缘用户的传统云相比，多接入边缘计算服务器的计算能力有限但功率较低且靠近边缘用户。在一个地理区域内可能存在多个具有不同有限资源的多接入边缘计算服务器，每个多接入边缘计算服务器可能为多个边缘用户提供持续不断的计算任务服务，这些任务具有不同的应用特征、多样化的通信需求和带宽。因此，多个异构边缘用户会竞争来自多个异构移动边缘计算节点的不同资源。

在移动边缘计算中，资源分配表现出局部性。一个多接入边缘计算服务器只能利用有限的计算资源为其邻近的边缘用户提供服务，而具有不同需求的边缘用户也只能将计算任务卸载到其邻近的多接入边缘计算节点。因此，当边缘用户存在高优先级紧急任务（如电子健康、移动车辆连接和工业自动化）时，附近的多接入边缘计算节点由于仅能分配有限的计算资源，无法满足该边缘用户的需求。当选择卸载任务的边缘用户数量增加时，这一限制变得更加突出。此外，边缘用户和多接入边缘计算服务器通常隶属于不同的管理主体，具有盈利导向，且仅关注自身的效用。因此，需要一种可行且高效的激励机制来向边缘用户收费并奖励多接入边缘计算服务器，以促进多接入边缘计算服务器的服务提供并提高资源利用率。当移动边缘计算系统采用价格激励策略时，多接入边缘计算服务器在为边缘用户提供资源的同时也能获得一定的收益，而边缘用户在支付资源费用的同时可以获得更优的用户体验。

边缘用户本质上希望在有限预算内获取尽可能多的资源，而资源有限的多接入边缘计算服务器则希望通过吸引边缘用户购买其资源来最大化自身收入。然而，在分布式系统（如移动边缘计算系统）中，由于不存在中心化机构，且多接入边缘计算服务器和边缘用户可自私地做出各自决策，实现这些需求十分困难。

因此，一个主要问题是将有限的多接入边缘计算资源高效分配给具有多样化需求和偏好的边缘用户。为应对这一挑战，我们提出了一种基于斯塔克尔伯格博弈的框架，以协调边缘用户和多接入边缘计算服务器的利益，使得每个边缘用户对其获得的资源感到满意，同时多接入边缘计算服务器保持可观的收入。本文的主要贡献总结如下：

(1) 我们建立了一个斯塔克尔伯格博弈模型，用于解决多个边缘用户与多接入边缘计算服务器之间的多资源分配和定价问题。在我们的模型中，作为跟随者的每个具有有限预算的边缘用户可以决定需求矩阵，该矩阵表示其对每个多接入边缘计算服务器所拥有的各类资源的需求，以最大化其效用。作为领导者的每个具有受限资源的多接入边缘计算服务器可以确定各类资源的单价，以最大化其收入。

(2) 我们将多资源分配与定价问题分解为一组子问题，其中每个子问题仅考虑单一资源类型。针对每个子问题构建了斯塔克尔伯格博弈框架，在该框架中，领导者（即多接入边缘计算服务器）可以确定该资源的单价，而每个跟随者（即欧盟）则可通过在策略空间中选择适当的策略来自私地最大化其效用。此外，我们证明了子问题博弈中斯塔克尔伯格均衡的存在性。

(3) 我们开发了用于确定每种资源类型的斯塔克尔伯格均衡的算法，包括最优需求计算算法（ODCA），以找到欧盟的最佳资源需求策略，以及一种迭代算法来寻找均衡价格。所有子博弈的均衡解构成了原问题的均衡解。

(4) 我们进行了博弈的仿真实验，包括斯塔克尔伯格均衡的数值数据和斯塔克尔伯格均衡收敛性的数值数据。此外，我们展示了拥有空闲资源的欧盟可以扮演多接入边缘计算的角色。

本文的其余部分组织如下。我们在第2节描述相关工作，并在第3节讨论系统模型。我们在第4节为多个边缘用户从多个异构移动边缘服务器竞争多种资源的场景建立斯塔克尔伯格博弈模型，证明该博弈的斯塔克尔伯格均衡存在性，并提出求解该均衡的算法。我们在第5节分析仿真结果。最后，我们在第6节总结全文。

2. 相关工作

移动边缘计算及相关技术工作近年来受到了广泛关注。最新的综合调查概述了这些已发表作品的大部分内容[4–6]。

最近，一个主要的研究方向集中在从用户设备到多接入边缘计算服务器的计算卸载[7–10]。相关文献的共同特点是，边缘用户将计算任务卸载到多接入边缘计算服务器，以降低功耗或计算任务执行延迟。通常情况下，这些资源有限的多接入边缘计算服务器位于边缘用户附近或蜂窝基站处。然而，多个边缘用户同时将其计算任务卸载到多接入边缘计算服务器，可能会对边缘用户的计算卸载体验产生负面影响。原因是，边缘用户可能面临以下问题：由于严重的通信干扰导致传输延迟增加、由于在队列系统中等待时间变长而导致任务处理延迟升高，以及因传输延迟增加而导致功耗上升。因此，在移动边缘计算系统中应考虑资源的分配与调度。

关于云资源分配和定价的研究已开展大量工作[11]。一种广泛使用的方法是采用博弈论方法来解决云计算中的资源供给和定价问题[12–16]。Liu et al. 从博弈论的角度研究了多台服务器之间的请求迁移策略以实现负载均衡，并将其建模为多台服务器之间的非合作博弈，该模型处于分布式、非合作且竞争的环境中[15]。拍卖理论是另一种针对定价问题的前沿方法[17–20]。在[17],中，作者提出了一种基于组合拍卖的机制，用于解决单提供商场景下多种类型虚拟机（VM）共存时的虚拟机（VM）分配与定价问题。

相比之下，移动边缘计算中的资源分配与定价仍处于起步阶段[21–26]。毛等人研究了多用户移动边缘计算系统中的在线联合无线与计算资源管理算法，旨在在满足任务缓冲区稳定性约束的前提下，最小化移动设备和移动边缘计算服务器的长期平均加权和功耗[21]。

尤等人研究了基于时分多址和正交频分多址的多用户移动边缘计算卸载系统的资源分配问题，其中每个用户有一个计算任务，通过在计算延迟约束下最小化移动能耗的加权和来优化性能，并假设云计算和结果下载时间可忽略[22]。郭等人考虑了一个具有一个具备计算能力的基站和多个具有不可忽略任务执行的刚性计算任务用户的多用户移动边缘计算系统中的节能资源分配方案

通过最小化加权和能耗问题，最优分配任务操作序列以及上传和下载时间时长[23]。尹等人提出了一种基于容器的任务调度模型和带任务延迟约束的任务调度算法。此外，根据容器的特性，提出了一种资源再分配机制以减少任务的执行延迟[24]。这些研究通常讨论资源管理问题，以最小化功耗或减少任务完成时间。然而，这些工作既未考虑资源的定价，也未考虑同时优化边缘用户和多接入边缘计算服务器目标的问题。

一些文献利用拍卖理论研究移动边缘计算中的资源定价。金等人在[27]中考虑了移动云计算中云簇的资源共享与定价，提出了两种激励机制，包括一种真实激励机制以及一种更高效的拍卖设计，以协调作为服务用户（买方）的移动设备与作为服务提供者（卖方）的云簇之间的资源拍卖。在[28],中，金等人提出了一种激励相容的拍卖机制，用于移动设备作为服务用户（买方）与云簇作为服务提供者（卖方）之间的资源交易。孙等人研究了移动边缘计算中网络经济学与资源分配的联合问题，其中工业物联网（IIoT）移动设备（MDs）以申报出价请求任务卸载，边缘服务器则以其有限的计算服务提供要价。

他们提出了移动边缘计算中两种具有动态定价的双向拍卖方案，即基于盈亏平衡的双向拍卖和基于更高效动态定价的双向拍卖，以确定工业物联网MDs与边缘服务器之间的匹配对，并在局部性约束下实现高系统效率的定价机制[29]。

匹配理论是一种数学框架，可为组合分配问题提供多项式时间解[30]。匹配理论适用于对具有利益冲突的多个代理之间的交互进行建模[31]。例如，在[32],中，提出了一种基于匹配理论并具有演化偏好的分布式频谱交易机制，通过频谱复用为次级用户提供更多频谱接入机会。在[33],中，作者研究了集成µ‐波和毫米波频率的双模小型基站（SBSs）中的缓存问题，其中在移动性管理场景中应用了一种动态匹配博弈方法以最大化向SBSs的切换。然而，本文的研究不仅涉及组合分配问题，还包括多种资源定价。因此，匹配理论不适用于所提出的模型。

斯塔克尔伯格博弈是一种具有领导者与跟随者概念的两阶段博弈[34]。领导者与跟随者均试图最大化自身的利润，因此该博弈为双方参与者提供了双重收益。斯塔克尔伯格博弈已被广泛用于以分布式方式解决网络系统中的资源管理问题。在[35],王等人提出了一种用于云中数据中心功率分配的斯塔克尔伯格博弈模型。在此博弈中，电网控制器作为领导者，根据当前可再生能源的数量和成本设定所提供能量的价格；云控制器即跟随者，观察价格后决定购买的最优能量量，并为其数据中心执行资源分配。通过逆向归纳法，可以得到博弈中双方参与者的近似最优策略。斯塔克尔伯格博弈模型被广泛用于描述网络系统中的分层决策问题[36–40]。在[36],张等人研究了一个特定的雾计算网络，该网络由一组数据服务运营商（DSOs）组成，每个运营商控制一组

雾节点（FNs）为一组数据服务订阅者（DSSs）提供所需的数据服务。

他们构建了一个斯塔克尔伯格博弈，用于分析数据服务运营商（DSOs）的定价问题以及数据服务订阅者（DSSs）的资源分配问题。

他们提出了一种数据服务运营商（DSOs）与雾节点（FNs）之间的多对多匹配方法，以解决数据服务运营商‐雾节点配对问题。文献[37]将单云多服务资源供给与定价问题建模为一个斯塔克尔伯格博弈，在最小化服务成本的同时最大化提供商的收入。杨等人采用博弈论方法将能耗最小化问题建模为一个斯塔克尔伯格博弈[38]。近年来，多项关于移动边缘计算中资源分配与定价的研究采用了斯塔克尔伯格博弈方法[41–43]。例如，在[41],中，郭等人提出了一种基于移动边缘计算的智能家居分层架构，并采用斯塔克尔伯格博弈解决接入点与用户设备的资源购买与定价问题。因此，斯塔克尔伯格博弈是解决本文所提出问题的合适模型。

然而，如表1所示，前述研究要么基于集中式方法，要么处理分布式环境中的单资源分配问题。与这些研究不同，为了解决分布式环境下的多资源分配与定价问题，我们提出了一种多领导者多追随者斯塔克尔伯格博弈，以协调MECs和边缘用户的利益。本文具有以下新颖且独特的特点。

(1) 我们考虑多个异构边缘用户从多个异构移动边缘计算节点竞争多种资源，其中每个边缘用户受限于每种资源的预算，而每个多接入边缘计算服务器对每种资源类型都有一定的数量约束。边缘用户与多接入边缘计算服务器之间的交互通过价格激励机制进行。(2) 每个边缘用户拥有用于采购资源的预算，该预算包括每种所需资源的子预算。每个多接入边缘计算服务器包含多种资源类型，且每种资源的数量有限。(3) 我们采用斯塔克尔伯格博弈方法来求解每个边缘用户的最优资源需求以及多接入边缘计算服务器每种资源的单价。

3. 系统模型

本节介绍移动边缘计算的系统模型。

首先，各种设备如智能手机、平板电脑、个人计算机、实验室服务器以及企业/学校/医院和集中式电信局中未充分利用的中小型数据中心，均可作为移动边缘计算层中的多接入边缘计算服务器。通常，具有一定计算能力且暂时空闲的设备都可以充当多接入边缘计算服务器。其次，聚合层（例如基站、交换机/路由器或接入点）是边缘用户与多接入边缘计算服务器之间的通信桥梁。第三，边缘用户层由具有不同计算需求的多种设备组成，例如传感器、智能手机或个人计算机。

每个边缘用户有多种计算任务，可能需要多种资源。本文假设每个边缘用户对特定资源有明确的预算。在实际中，这些资源的预算可以相互转移，但为了简化问题，我们不考虑这种情况。相应地，每个多接入边缘计算服务器也至少包含一种资源类型，且每种资源类型的数量是有限的。此外，多接入边缘计算服务器可以通过提供资源给边缘用户而获得报酬。通常情况下，边缘用户和多接入边缘计算服务器通过聚合层交换价格和需求信息，如图1所示。所有多接入边缘计算服务器发布其自身资源的单价，边缘用户则传输其需求

基于每种资源的单价及其对每种资源的预算向MEC提供 本工作中的移动边缘计算系统由多个边缘用户和多个资源受限的异构MEC组成。每个MEC提供多种类型的资源。例如，可以从一组M4和M5型Amazon EC2实例[44]中随机选择一个MEC。一个M4型Amazon EC2机器提供多种资源类型配置，例如m4.large、m4.xlarge和m4.2xlarge。每个EU都有可用预算用于购买资源。这些资源被边缘用户用于在移动边缘计算系统中执行计算任务。本文重点关注MEC与EU之间的交互，并考虑多个异构边缘用户竞争来自多个异构移动边缘计算节点的资源。

多种机制促进MEC和EU之间的协作。需要一种激励机制来向EU收费并奖励MEC，即每种资源的单价。一方面，如果价格较高，则可以激励MEC向EU提供资源；另一方面，如果价格较低，则可以促使EU从MEC购买更多资源。本文重点在于计算一个均衡解，为每种资源分配单价，并为每个EU分配最优资源包，以最大化MEC和EU的效用。

表2 关键符号的汇总

(a) 集合

符号	描述
M	多接入边缘计算服务器的集合
N	边缘用户的集合
R	资源集合

(b) 参数

符号	描述
M	MEC总数
N	边缘用户总数
R	不同资源类别的数量
Bi,r	欧盟i对资源r的预算
Bi	欧盟i对多种资源的总预算
Qj,r	第j个MEC中资源类别r的数量

(c) 决策变量

符号	描述
xi,j,r	欧盟i从第j个MECj获得的类型为r的资源数量
xi,j	欧盟i对第j个MECj的资源需求向量
Xi	欧盟i对所有多接入边缘计算服务器的资源需求矩阵
pj,r	第j个MEC中资源r的单价
pj	第j个MEC中资源的单价向量
P	所有MEC的单价矩阵

4. 问题建模

如图1所示，多接入边缘计算服务器设定每种资源的单价，并向边缘用户公布。随后，边缘用户根据多接入边缘计算服务器提供的单价确定对各类资源的需求。多接入边缘计算服务器先于边缘用户做出决策，这种模型在经济学中被称为斯塔克尔伯格模型[45]。

斯塔克尔伯格模型常用于建模存在领导者的参与者关系。例如，苹果公司通常被视为手机行业中的主导企业，而小公司通常会等待苹果发布新产品。在发布之后，这些小公司会相应地调整其产品决策。

在此示例中，我们将手机行业建模为以苹果公司作为斯塔克尔伯格领导者，行业中其他公司作为斯塔克尔伯格追随者。

在我们提出的模型中，MEC作为能够设定价格的领导者，而EUs则作为跟随者通过选择其需求作出响应。该博弈包含多个具有多种资源的领导者以及跟随者。领导者MEC应设定何种价格以最大化其效用？这一问题的答案取决于领导者MEC预期跟随者EUs将如何对其价格作出反应。可以假设，领导者MEC会预期跟随者EUs也将试图实现效用最大化。因此，领导者MEC必须考虑其跟随者EUs的效用最大化问题，以合理制定其资源价格决策。

我们必须建立数学模型来分析性地研究理论斯塔克尔伯格模型的细节。为了便于参考，表2列出了本文采用的关键符号及说明。

4.1. 欧盟问题

我们的研究聚焦于一个移动边缘计算系统，该系统包含多个边缘用户和具有不同资源类型的多接入边缘计算服务器（图1）。我们用

N={1, 2,…, N}和 M={1, 2,…, M}分别表示边缘用户和

多接入边缘计算服务器的集合。符号 R={1, 2,…, R}表示不同资源类型的集合。假设|N | = N、|M| = M和|R| = R。Bi表示边缘用户i的预算，其中包括每种资源r的预算Bi,r，其中Bi= Bi,1+ Bi, 2+ · · ·+ Bi,R。如果边缘用户i对资源r没有需求，则Bi,r为0；否则 Bi,r > 0。令xi,j,r表示边缘用户i从MECj获得的资源类型r的数量。同时给出了边缘用户的效用函数。边缘用户i旨在最大化以下函数。

$$
Ui=\sum_{r\in R} Bi,r\sum_{j\in M} \log(\alpha_i+ xi,j,r),\forall i \in N, (1)
$$

其中 αi为常数。对数函数已广泛应用于网络优化问题，以及费雪市场的均衡分配[46,47]。公式(1)中的函数被选为效用函数，因其与效用函数ωi,r ∑j∈M log(xi,j,r)密切相关。此外，该函数可实现比例公平资源分配[39,48],，其中ωi,r为常数。然而，若将ωi,r ∑j∈M log(xi,j,r)作为效用函数，则当xi,j,r = 0时，欧盟将获得负效用，这与 “当xi,j,r = 0时效用为0”的定义不一致。将xi,j,r替换为 αi+ xi,j,r 后，当xi,j,r = 0时，效用变为有限值。通常 αi的取值为1。此外，我们使用预算Bi,r代替ωi,r。

从属边缘用户（EU）的效用取决于资源矩阵Xi，该矩阵随领导者多接入边缘计算节点（MECs）的单位价格矩阵P的变化而变化，其中Xi=(xi,1, xi,2, . . . , xi,M )T ∈RM×R，资源矩阵中第j行第r列的元素为xi,j,r。对于MEC提供的给定价格矩阵P，其中P =(p1, p2, . . . , pM)且pj=(pj,1, pj,2, . . . , pj,R)，边缘用户i旨在通过求解边缘用户优化问题来选择最优的资源需求矩阵Xi

$$
\max_{Xi} Ui (2)
$$

$$
s.t. \sum_{r\in R} \sum_{j\in M} pj,rxi,j,r \le Bi (3)
$$

$$
xi,j,r \ge 0,\forall r \in R,\forall j \in M. (4)
$$

每个欧盟的需求选择将取决于多接入边缘计算服务器确定的价格。

因此，这种关系可以表示为

$$
X i= f(P),\forall i \in N. (5)
$$

函数f(P)揭示了边缘用户根据多接入边缘计算服务器的决策所做出的选择。这种关系是一种反应函数，因为它揭示了边缘用户将如何响应多接入边缘计算服务器的决策。

在接下来的讨论中，我们推导反应函数。由于所有资源相互独立且不冲突，我们可以将原始的欧盟优化问题分解为多个单资源子问题。

根据资源类型数量R，欧盟优化问题可转化为R个单资源子问题。子问题r表示为

$$
\max_{x r i := { x i , j , r ,j \in M }} Ui , r = Bi , r\sum_{j\in M} \log(\alpha_i + xi ,j, r) (6)
$$

$$
s.t. \sum_{j\in M} pj, rxi ,j, r \le Bi , r (7)
$$

$$
xi ,j, r \ge 0,\forall j \in M. (8)
$$

公式(5)是另一个约束条件，其中r= 1,…, R。

我们根据上述变换提出以下陈述。

(1) 这种变换是等价的，因为所有子问题的xr i构成了原始的欧盟优化问题的X i 。

(2) 原始的欧盟优化问题的解是一个M ×R矩阵。然而，子问题的解仅是一个包含M个元素的向量。求解子问题比求解原问题更简单。

首先，让我们在N个边缘用户和三个多接入边缘计算的简单情况下推导反应函数。然后，我们将所推导的函数应用于N个边缘用户和M个多接入边缘计算服务器的一般情况。在这种情况下，子问题r被定义为

$$
\max_{xr i:={xi,1,r,xi,2,r,xi,3,r}} Ui,r= Bi,r 3 \sum_{j=1} \log(\alpha_i+ xi,j,r) (9)
$$

$$
s.t. 3 \sum_{j=1} pj,rxi,j,r \le Bi,r (10)
$$

$$
xi,1,r, xi,2,r, xi,3,r \ge 0. (11)
$$

由公式(9)–(11)定义的问题总存在可行的内点解，只需将xi,1,r、xi,2,r以及xi,3,r设为足够小的正值，即可使公式(10)和(11)中的所有约束均以严格不等式形式满足。因此Slater条件成立，卡鲁什‐库恩‐塔克(KKT)条件是优化问题的充分必要条件[49]。受研究工作[3]和[40],的启发，我们也采用KKT条件来求解该问题。

我们定义λi,r,µi,1,r,µi,2,r和µi,3,r为与公式(10)和(11)相关的对偶变量。拉格朗日函数表示为

$$
L(xr i, λi,r,µi,1,r,µi,2,r,µi,3,r)= Bi,r 3 \sum_{j=1} \log(\alpha_i+ xi,j,r)
+ λi,r(Bi,r − 3 \sum_{j=1} pj,rxi,j,r)+µi,1,rxi,1,r+µi,2,rxi,2,r
+ µi,3,rxi,3,r.
(12)
$$

公式(9)–(11)中问题的KKT条件如下所示。

$$
\frac{\partial L}{\partial xi,1,r} = \frac{Bi,r}{\alpha_i+ xi,1,r} − λi,rp1,r +µi,1,r = 0 (13)
$$

$$
\frac{\partial L}{\partial xi,2,r} = \frac{Bi,r}{\alpha_i+ xi,2,r} − λi,rp2,r +µi,2,r = 0 (14)
$$

$$
\frac{\partial L}{\partial xi,3,r} = \frac{Bi,r}{\alpha_i+ xi,3,r} − λi,rp3,r +µi,3,r = 0 (15)
$$

$$
λi,r( Bi,r − 3 \sum_{j=1} pj,r xi,j,r) = 0 (16)
$$

$$
µi,1,r xi,1,r = 0 (17)
$$

$$
µi , 2 , rxi , 2 , r = 0 (18)
$$

$$
µ i , 3 , rxi , 3 , r = 0 (19)
$$

$$
λ i , r , µ i , 1 , r , µ i , 2 , r , µ i , 3 , r , xi , 1 , r , xi , 2 , r , xi , 3 , r \ge 0. (20)
$$

公式(9)–(11)的最优解可以具有以下形式之一： （1）情况1：xi,1,r = xi,2,r = xi,3,r = 0：如果Bi,r > 0，则我们可以利用公式（16）推导出λ i,r = 0。µi,2,r 和 µi,3,r 必须是

根据公式(14)和(15)分别为负，不满足公式(20)。因此，该情况下的解不可行，不会发生。然而，当Bi,r= 0时，验证xi,1,r=xi,2,r= xi,3,r= 0较为容易。

（2）情况2：xi,1,r，xi,2,r，xi,3,r > 0：由公式（17）、（18）和（19）可推导出µi,1,r = µi,2,r = µi,3,r = 0。然后，公式（13）–（16）可重写如下。

$$
\frac{Bi,r}{\alpha_i+ xi,1,r} − λi,rp1,r= 0 (21a)
$$

$$
\frac{Bi,r}{\alpha_i+ xi,2,r} − λi,rp2,r= 0 (21b)
$$

$$
\frac{Bi,r}{\alpha_i+ xi,3,r} − λi,rp3,r= 0 (21c)
$$

$$
λi,r(Bi,r − 3 \sum_{j=1} pj,rxi,j,r)= 0. (21d)
$$

上述表达式表示λi，r> 0。由公式(21a)–(21d)可得

$$
xi,j,r= \frac{Bi,r+ \alpha_i\sum_{j=1}^3 pj,r}{3pj,r} − \alpha_i, j= 1, 2, 3. (22)
$$

（3）情况3：xi,1,r = 0，xi,2,r，xi,3,r > 0：公式（18）和（19）意味着µi,2,r = µi,3,r = 0。基于此，公式（13）–（16）可重写如下。

$$
\frac{Bi,r}{\alpha_i} − λi,rp1,r+µi,1,r= 0 (23a)
$$

$$
\frac{Bi,r}{\alpha_i+ xi,2,r} − λi,rp2,r= 0 (23b)
$$

$$
\frac{Bi,r}{\alpha_i+ xi,3,r} − λi,rp3,r= 0 (23c)
$$

$$
λi,r(Bi,r −p2,rxi,2,r −p3,rxi,3,r)= 0. (23d)
$$

假设λi，r= 0。那么，Bi，r αi+xi，3，r= 0，这将永远不会发生。

因此，λi，r> 0。由公式(21)可推导出以下表达式。

$$
xi,2,r = \frac{Bi,r + \alpha_i(p2,r + p3,r)}{2p2,r} − \alpha_i (24a)
$$

$$
xi,3,r = \frac{Bi,r + \alpha_i(p2,r + p3,r)}{2p3,r} − \alpha_i. (24b)
$$

(4) 情况4: xi，2，r= 0，xi，1，r，xi，3，r> 0：此情况与情况3类似。

(5) 情况5: xi，3，r= 0，xi，1，r，xi，2，r> 0：此情况也与情况3类似。

(6) 情况6: xi，1，r= xi，2，r= 0，xi，3，r> 0：证明λi，r> 0 是容易的。由公式(16)可推导出

$$
xi,3,r = \frac{B i , r}{p3, r}. (25)
$$

(7) Case 7: xi,2,r = xi,3,r = 0, xi,1,r > 0: xi,1,r = B i , r / p1, r: This case is similar to Case(6).

(8) 情况8: xi，1，r = xi，3，r= 0，xi，2，r> 0：xi，2，r = B i , r / p2，r：此情况也与情况(6)类似。

在引用的案例中，有N个边缘用户和三个多接入边缘计算，最优需求策略将是取决于移动边缘计算服务器的价格和预算Bi , r的八种情况之一。然而，随着N和M值的增加，该策略将变得越来越复杂。在接下来的讨论中，我们提出了一种ODCA来快速计算最优需求。

基于公式(22)、(24)和(25)，对于给定的{pj, r,j ∈ M}，N个边缘用户和M个多接入边缘计算服务器在一般情况下的需求可以被表述为

$$
xi,j,r=\begin{cases}\frac{Bi,r+\alpha_i\sum_{t\in T} pt,r}{|T|pj,r} − \alpha_i & \text{if } j \in T \ 0 & \text{otherwise}\end{cases} (26)
$$

其中T是一个必须包含j的集合，|T|表示集合T中元素的数量。xi,j,r 等于(Bi,r + αi∑t∈T pt,r )/(|T |pj,r ) − αi或0，且T对xi,j,r至关重要。初始时，T由 M设定。假设xi,j,r是一个实数，在这种情况下，我们可以得到xi,j,r =(Bi,r + αi∑Mj=1 pj,r )/(Mpj,r ) − αi，j ∈ M，这与公式(22)类似。然而，由于多接入边缘计算服务器的pj, r过高而预算Bi,r相对较小，部分xi,j,r可能为负值。这种情况与欧盟不会有负需求的事实相矛盾。当根据xi,j,r =(Bi,r + αi∑Mj=1pj,r )/(Mpj,r) −αi计算出的xi,j,r为负值时，xi,j,r将被重置为0。此外，我们将j从T中排除。最后，我们使用新的T重复上述过程，直到所有xi, j,r满足条件xi,j,r ≥ 0为止。

在上述分析中，我们假设所有MEC都具有R种资源和pj,r> 0,∀ j ∈ M, r ∈ R。然而，每个MECj最多包含R种资源类型。某些 MEC不包含某些类型的资源。当MECj不存在资源r时，其定价将设为0，即pj,r= 0。在这种情况下，xi,j,r= 0,∀i ∈ N必然发生。此外，这种情况不会影响边缘用户对拥有该资源的MEC的需求。

基于上述分析，我们提出了一种ODCA来确定欧盟i对资源r的最优需求策略。我们已经知道子问题r的解，因此只需对任意其他资源r 重复上述过程，即可获得原问题的解X i。

算法1 ODCA

输入： αi：一个常数；Bi,r：欧盟i用于资源r的预算；S1={j|j ∈ M}：多接入边缘计算服务器的集合；Sz={j|pj,r > 0,xi,j,r = 0}= NULL：拥有资源r但非必需的多接入边缘计算服务器集合。

输出： optimalxi ,j, r ,第j个MEC ∈ M

1: 对于每个欧盟i执行
2: 设置j ← 1
3: 当j ≤ MEC总数时
4: 如果pj,r= 0 那么
5: 设置xi , 第j个 MEC , 资源类别数量 ← 0
6: 设置j ←j+ 1
7: else
8: if j ∈ Sz then
9: set xi,j,r ← 0
10: set j ←j+ 1
11: else
12: 设置Snew ← S1 \ Sz, S′ ←{第j个MEC|j ∈Snew ,Pj, r = 0}
13: 设置MEC总数 new ← |Snew | − |S′|
14: xi , 第 j 个MEC ,
资源 类别数量 ← (Bi , r + α i∑ j ∈ Sne w pj , r) / (Mne wpj, r) − αi
15: 如果xi,第j个MEC,资源类别数量 < 0那么
16: 设置xi , 第j个 MEC , 资源类别数量 ← 0
17: 设置Sz ← Sz ∪ {第j个MEC}
18: 中断；
19: else
20: 设置j ←j+ 1
21: 结束if
22: 结束if
23: 结束if
24: 结束while
25: 结束for
26: 返回xi ,j, r,j ∈ M

4.2. 多接入边缘计算问题

利用给定的领导者移动边缘计算节点的单价矩阵，我们分析跟随者边缘用户如何选择需求策略。随后，我们讨论领导者移动边缘计算节点的效用最大化问题。假设领导者移动边缘计算节点意识到其行为会影响跟随者边缘用户的需求选择。这种关系通过反应函数f(P)进行概括，该函数可通过ODCA获得。因此，领导者移动边缘计算节点在设定资源价格时，应认识到其对跟随者边缘用户所产生的影响。

为了获得最大效用，多接入边缘计算服务器应为资源设定合适的价格。如果第j个多接入边缘计算服务器以高于其他多接入边缘计算服务器的价格出售资源r，则边缘用户更愿意从价格较低的多接入边缘计算服务器获取资源r。多接入边缘计算服务器之间的关系是非合作且竞争的。我们假设Qj,r表示第j个多接入边缘计算服务器中资源r的数量，j ∈ M。如果第j个多接入边缘计算服务器没有资源r，则Qj,r= 0。我们定义每个多接入边缘计算服务器j的效用函数为

$$
Uj(pj,P−j)=\sum_{r\in R} pj,r\sum_{i\in N} xi,j,r, (27)
$$

其中P−j是除MECj之外所有其他MEC的资源价格矩阵。给定P−j，MECj将希望选择一个合适的价格向量pj以最大化其效用。MECj的效用最大化问题表示为

$$
\max_{pj} Uj(pj,P−j) (28)
$$

$$
s.t. \sum_{i\in N} xi,j,r \le Qj,r,\forall r \in R (29)
$$

$$
pj,r \ge 0,\forall r \in R, (30)
$$

其中pj,r= 0表示MECj不包含资源r（即Qj,r= 0）。EUi对MECj的资源r的需求为xi,j,r= 0。在实践中，当我们通过效用最大化问题求得最优价格向量pj时，会忽略这种情况。我们跳过pj,r= 0的情形，因为除非MECj新引入该资源r，否则价格永远不会改变。否则，调整价格pj,r毫无意义。

类似于EU优化问题（公式(2)–(4)），我们将MEC的效用最大化问题（公式(28)–(30)）分解为R个子问题。通过子问题r，我们可以获得每个MECj中资源类型r的最优价格。

$$
\max_{pj,r} Uj,r(pj,r ,p−j,r)= pj,r\sum_{i\in N} xi,j,r (31)
$$

$$
s.t. \sum_{i\in N} xi,j,r \le Qj,r (32)
$$

$$
pj,r \ge 0,j \in M, (33)
$$

其中p−j,r是除MECj外所有其他MECs的资源类型r的价格向量，Uj,r是MECj在资源类型r上的效用。约束(32)描述了MECj中资源类型r的容量限制。包含在约束(33)中的等式pj,r = 0成立当且仅当Qj,r = 0。这种情况是子问题r中最简单的情形。由于pj,r = 0且Qj,r = 0，Uj,r必须为0；最大化相应的效用不会影响其他MECs。

将式(26)代入第j个MEC的子问题r （式(31)–(33)）可得

$$
\max_{p j , r} U j, r(pj, r ,p−j, r) (34)
$$

$$
s.t. \sum_{i \in N/{i}: x i , j , r = 0} \left( \frac{B i , r + \alpha_i \sum_{t \in T} p t , r}{|T|pj, r} − \alpha_i \right) \le Qj, r (35)
$$

$$
pj,r \ge 0,j \in M, (36)
$$

其中，$ Uj,r(p j,r, p−j,r)=pj,r \sum_{i\in N/{i}:xi,j,r=0} \left( \frac{Bi,r+\alpha_i\sum_{t\in T} pt,r}{|T|pj,r} − \alpha_i \right) $。从目标函数Uj,r(p j,r, p−j,r)可以看出，MECj的最优价格pj,r与其它多接入边缘计算服务器的价格相关。因此，该价格优化场景可通过以下非合作博弈进行建模。

• 参与者 ：M个MECs。
• 策略 ：每个MECj选择价格pj,r ∈ Cj,r以最大化其效用，其中Cj,r是满足约束(35)和(36)的所有值的集合。
• 收益 ：效用函数Uj,r如上所定义。收入是单价与已售出资源数量的乘积。

MECs根据价格优化博弈中对收入和策略的定义，选择价格策略以最大化收入。为了进一步分析，可将价格优化博弈表示为Γ=(M,{Cj,r}j∈M,{Uj,r}j∈M)以便于讨论。随后引入纳什均衡的概念[50]。

定义1 。策略组合p∗r=(p∗1,r…,p∗N,r)是博弈Γ的纳什均衡，如果在均衡p∗r处，没有任何参与者能够通过单方面改变其策略来进一步增加其收入。数学上，

$$
Uj,r(p∗j,r,p∗−j,r) \ge Uj,r(pj,r,p∗−j,r),\forall pj,r \in Cj,r,j \in M. (37)
$$

纳什均衡具有令人满意的自稳定特性，使得处于均衡状态的用户能够达成相互满意的结果；没有任何用户有动机偏离该状态。这一特性对于定价优化问题至关重要，因为边缘用户是不同的个体，可能会根据自身利益采取行动。

4.3. 斯塔克尔伯格博弈均衡分析

我们首先研究多接入边缘计算服务器之间价格优化博弈的纳什均衡的存在性，并参考文献[7]和[39]的工作来证明纳什均衡的存在性。

定理1 。多接入边缘计算服务器之间的价格优化博弈的纳什均衡始终存在且唯一。

证明 。(1) 在博弈Γ中，所有参与者的策略空间是乘积空间Cr= C1,r ×C2,r ×· · ·×CN,r，其中pj,r∈Cj,r，j ∈ M。因此，Cr是某个欧几里得空间RM中的一个凸的、闭的且非空子集。

(2) 收入函数Uj,r在pj,r上连续。关于Uj,r对pj,r的二阶导数为

$$
\frac{\partial^2 Uj,r}{\partial p^2 j,r} = 0,\forall j \in M. (38)
$$

因此，对于每个固定的p−j,r值，Uj,r在pj,r上是凹的，且博弈Γ是一个凹N人博弈。在这种情况下，根据[51]中的定理1，该博弈存在纳什均衡。此外，根据[51]中的定理3，该纳什均衡是唯一的。 □

我们还可以证明，对于每种资源r，多接入边缘计算服务器之间的价格优化博弈存在纳什均衡。式(28)–(30)中的效用最大化问题具有纳什均衡pj。

边缘用户决定从每个多接入边缘计算服务器购买的每种资源的数量，而多接入边缘计算服务器设定每种资源的单价。因此，我们将问题建模为一个斯塔克尔伯格博弈。斯塔克尔伯格博弈，也称为领导者‐追随者博弈，研究了多个独立参与者（Players）的决策过程。

多接入边缘计算服务器作为领导者，在第一阶段确定价格策略P，而在第二阶段，每个欧盟决定其需求Xi。该斯塔克尔伯格博弈的一个最优解是达到斯塔克尔伯格均衡，定义如下。

定义2 。如果集合（P∗,X∗）满足以下条件，则称其为MECs与边缘用户之间博弈的斯塔克尔伯格均衡。

$$
Uj(P∗;X∗= f(P∗)) \ge Uj(pj,P∗−j;X= f(pj,P∗−j)),\forall j \in M;
$$
$$
Ui(P∗;X∗= f(P∗)) \ge Ui(P∗;Xi,X∗−i),\forall i \in N.
$$

定理2 。所提出的斯塔克尔伯格博弈存在唯一的斯塔克尔伯格均衡。

证明 。在此斯塔克尔伯格博弈中，多接入边缘计算服务器将在第一阶段选择定价策略，并将选定的策略公布给边缘用户。根据定理1，多接入边缘计算服务器之间的定价过程中存在纳什均衡解。在第二阶段，边缘用户将不仅基于其预算，还基于每个多接入边缘计算服务器中每种资源的价格来决定对资源的需求。边缘用户可通过所提出的ODCA获得最优需求分配。因此，所提出的斯塔克尔伯格博弈存在唯一的斯塔克尔伯格均衡。□

4.4. 达到均衡的算法

算法2 达到均衡的算法

1: 对于每种资源类型r，r ∈ R执行
2: 对于（每次迭代次数t）执行
3: 多接入边缘计算服务器发布资源类型r的当前价格，{pj,r∀j ∈ M}
4: 每个欧盟i计算来自第j个MECj xi,j,r的最佳需求
对于资源r使用所提出的ODCA算法并发送
将其分配给第j个MEC，其中j ∈ M。
5: 对于(每个多接入边缘计算j，j ∈ M)执行
6: 如果(∑Ni=1 xi,j,r > Qj,r)成立
7: 提高第j个MEC的资源价格j p′j,r。
8: 更新所有多接入边缘计算服务器的需求。
9: else
10: 如果(∑Ni=1 xi,j,r < Qj,r)那么
11: 降低第j个MEC的资源价格j p′j,r。
12: 更新所有多接入边缘计算服务器的需求。
13: else
14: 价格pj，r保持不变。
15: 结束如果
16: 结束如果
17: 结束循环
18: 如果(|p′j,r −pj,r |< ϵ,∀j ∈ M)则
19: pj,r∗ ← p′第j个MEC，资源类别数量
20: 返回pj,r∗;
21: 中断;
22: else
23: t=t+1; 中断;
24: 结束if
25: 结束for
26: 结束for

在本节中，我们提出一种迭代算法以实现所提斯塔克尔伯格博弈的均衡。

算法2针对每种资源类型r进行迭代运行（第2–25行）。资源r pj,r> 0,∀j ∈ M的初始价格由每个MEC任意设定。每个MEC在每次迭代中根据边缘用户的需求和总资源更新其单价（第2–25行）。在该算法中，价格更新机制的数学表达式为

$$
p′ j,r= pj,r+(\sum_{i=1}^N xi,j,r − Qj,r)× δj, (39)
$$

其中δj是MECj的步长参数，为一个足够小的数。一旦MEC更新其价格，边缘用户将根据当前情况使用我们提出的ODCA调整其需求（第4行）。

MEC的单价和边缘用户的需求进行交互式更新。当连续两次迭代得到的价格配置文件足够接近且满足精度要求时，算法终止（第18–21行）。最终收敛的价格配置文件pr∗=(p1,r∗,p2,r∗,…,pM,r∗)以及相应的边缘用户价格配置文件构成资源类型r的斯塔克尔伯格均衡。通过针对其他资源重复上述过程，可获得所提出斯塔克尔伯格博弈的斯塔克尔伯格均衡解。

5. 实验评估

在本节中，我们展示了所提出的斯塔克尔伯格博弈方法（SGA）的性能。

移动边缘计算的研究仍处于起步阶段。据我们所知，很少有研究涉及资源分配与定价[3,28,52]。然而，由于背景信息和优化目标不同，将SGA与先前的工作进行比较并不合适。根据[7,15,53,54],和[36],中的方法，我们设计了若干数值示例来评估所提出的SGA的性能。我们研究了在有限预算下，边缘用户如何基于每个多接入边缘计算服务器中每种资源的单价选择最佳资源组合。我们还研究了多接入边缘计算服务器如何确定资源单价以最大化收入。在一般情况下，我们也考虑由大量多接入边缘计算服务器和边缘用户组成的场景下的斯塔克尔伯格博弈均衡。然后，我们展示了算法2的收敛性，以及拥有空闲资源的UE如何充当多接入边缘计算服务器的角色。此外，由于我们采用斯塔克尔伯格博弈以去中心化方式对多接入边缘计算服务器与边缘用户之间的交互进行建模，因此我们考虑以下三种集中式方案作为对比的基线方案。

• 内点算法（IPA）[55,56]
• 序列二次规划算法（SQP）[57,58]
• 活动集算法（ASA）[59,60]

三种集中式方案的目标是最大化所有个体（包括MEC和EUs）的效用总和。

除非另有说明，分析中使用的参数如下：αi= 1；N = 5个EUs；M = 3个MECs；R = 3类资源在移动边缘计算系统中；EUs的预算限制为B1,1= 5, B1,2= 15, B1,3= 10；B2,1= 7, B2,2= 16,B2,3= 15；B3,1= 9, B3,2= 4, B3,3= 20；B4,1= 12, B4,2= 10, B4,3= 25；B5,1= 15, B5,2= 9和B5,3= 30；αi= 1对于所有i ∈ N；MECs的可用资源包括Q1,1= 10, Q1,2= 11, Q1,3= 30；Q2,1= 15, Q2,2= 27, Q2,3= 30；Q3,1= 20, Q3,2= 26和Q3,3= 30；δj = 0.01；以及ϵ= 10−10。

5.1. 仿真步骤

使用MATLAB来评估所提出的斯塔克尔伯格博弈的性能。仿真步骤通过迭代执行以获得斯塔克尔伯格均衡。我们以单一资源类型为例。首先，给定每个MEC的资源单价，各边缘用户根据所提出的ODCA对资源做出最优选择。然后，多接入边缘计算服务器将根据边缘用户的需求更新其价格。此过程重复进行，直到满足对单价的精度要求为止。最后，当单价确定后，可通过ODCA获得每个边缘用户的最优资源需求。

资源1的单价与B11的关系。(b) 资源2的单价与B12的关系。(c) 资源3的单价与B13的关系)

资源1的MEC收入与B11的关系。(b) 资源2的MEC收入与B12的关系。(c) 资源3的MEC收入与B13的关系。(d) MEC的收入与B1的关系)

边缘用户对资源1的需求与B11的关系。(b) 边缘用户对资源2的需求与B12的关系。(c) 边缘用户对资源3的需求与B13的关系)

5.2. 例1：Stackelberg均衡下MEC的最优价格和效用

图2显示了当用户设备1对每种资源的预算从5变化到50时，各多接入边缘计算在斯塔克尔伯格均衡下确定的最优价格。图2(a)和(b)表明，资源较少的多接入边缘计算的定价高于资源较多的多接入边缘计算。例如，对于资源1，MEC1的收费高于MEC2，而MEC2的收费又高于MEC3，这是因为三个多接入边缘计算所拥有的资源1的数量分别为10、15和20。当三个多接入边缘计算拥有相同数量的资源时，边缘用户无法区分它们，因此收费也相同（图2(c)）。图2表明，随着边缘用户的预算增加，每种资源的单价增长大致呈线性。

图3（a）、（b）和（c）显示了每种资源类型下每个MEC的收入，分别对应于图2（a）、（b）和（c）中的情况。图3（d）描述了当EU1的总预算从15变化到150时，每个MEC的总收入。尽管MEC1在所有MEC中定价最高，但其相应的收入最低，因为该MEC拥有的资源数量最少（图3（a）和（b））。由于，尽管MEC3的单价在所有MEC中最低，但其收入最高（图2（a）和3（a））。

5.3. 示例2：边缘用户在斯塔克尔伯格均衡下的最优需求与效用

图4（a）、（b）和（c）展示了在斯塔克尔伯格均衡下每个边缘用户对每种资源的需求。用户设备1的资源需求随着其相应预算的增加而增加。相反，由于用户设备1的预算增加导致资源价格上涨，而其他边缘用户的预算保持不变，因此它们的需求下降。图5显示了边缘用户在斯塔克尔伯格均衡下的效用。

对于某一资源r，我们考虑由大量MEC和边缘用户组成的大型应用的斯塔克尔伯格博弈均衡。当用户设备和移动边缘计算节点数量分别为100和7，且用户设备1的预算为B1,r = 10、20、…、100时，表3和表4总结了斯塔克尔伯格均衡下的单价和用户设备需求结果。用户设备2‐10、11‐20、21‐30、31‐40、41‐50、51‐60、61‐70、71‐80、81‐90以及91‐100的预算分别为10、15、20、25、30、35、40、45、50和55。多接入边缘计算服务器的可用资源r为Q1,r = 50、Q2,r = 100、Q3,r = 150、Q4,r = 200、Q5,r = 250和Q6,r = Q7,r = 300。表3和表4中包含的特征与图2和图4中的类似。

表3 当N= 100边缘用户和M = 7多接入边缘计算服务器在B1,r变化时，斯塔克尔伯格均衡下资源r的单价

B1,r	p1,r	p2,r	p3,r	p4,r	p5,r	p6,r	p7,r
10	5.0791	3.7630	3.0104	2.5087	2.1503	1.8815	1.8815
20	5.0894	3.7749	3.0199	2.5166	2.1571	1.8874	1.8874
30	5.1058	3.7864	3.0291	2.5243	2.1637	1.8932	1.8932
40	5.1223	3.7979	3.0384	2.5320	2.1703	1.8990	1.8990
50	5.1388	3.8095	3.0476	2.5396	2.1768	1.9047	1.9047
60	5.1553	3.8210	3.0568	2.5473	2.1834	1.9105	1.9105
70	5.1717	3.8325	3.0660	2.5550	2.1900	1.9163	1.9163
80	5.1882	3.8440	3.0752	2.5627	2.1966	1.9220	1.9220
90	5.2047	3.8556	3.0845	2.5704	2.2032	1.9278	1.9278
100	5.2211	3.8671	3.0937	2.5781	2.2098	1.9335	1.9335

表4 当N = 100个边缘用户和M = 7个多接入边缘计算服务器，且B1,r变化时，在斯塔克尔伯格均衡下欧盟对资源r的需求

B1,r	EU1	欧盟2 − 10	欧盟11 − 20	欧盟21 − 30	欧盟31 − 40	欧盟41 − 50	欧盟51 − 60	欧盟61 − 70	欧盟71 − 80	欧盟81 − 90	欧盟91 − 100
10	4.6013	4.6013	6.7051	8.6580	10.6019	12.5458	14.4897	16.4337	18.3776	20.3215	22.2654
20	8.6325	4.5880	6.6852	8.6325	10.5704	12.5084	14.4463	16.3843	18.3222	20.2601	22.1981
30	12.4731	4.5753	6.6661	8.6091	10.5411	12.4731	14.4051	16.3371	18.2691	20.2012	22.1332
40	16.2903	4.5626	6.6470	8.5858	10.5119	12.4380	14.3641	16.2903	18.2164	20.1425	22.0687
50	20.0843	4.5500	6.6281	8.5626	10.4829	12.4031	14.3234	16.2437	18.1640	20.0843	22.0045
60	23.8552	4.5374	6.6093	8.5396	10.4540	12.3685	14.2830	16.1974	18.1119	20.0263	21.9408
70	27.6035	4.5250	6.5906	8.5167	10.4254	12.3341	14.2427	16.1514	18.0601	19.9688	21.8774
80	31.3291	4.5126	6.5720	8.4940	10.3969	12.2998	14.2028	16.1057	18.0086	19.9115	21.8145
90	35.0324	4.5003	6.5536	8.4714	10.3686	12.2658	14.1630	16.0602	17.9574	19.8547	21.7519
100	38.7135	4.4880	6.5352	8.4489	10.3404	12.2320	14.1235	16.0150	17.9066	19.7981	21.6897

5.4. 示例3：拥有空闲资源的欧盟作为多接入边缘计算节点

在移动边缘计算系统中，拥有空闲资源的边缘用户可以充当多接入边缘计算服务器。例如，对于多种资源，如果只有少数边缘用户拥有处于空闲状态的资源，则这些边缘用户可作为多接入边缘计算服务器，向其他有需求的边缘用户提供资源。此外，边缘用户可以对其提供的资源向其他边缘用户收费。以资源1为例，假设存在一个拥有可用资源1的边缘用户，其资源1的数量为QEU，1= 5（图6(a)和(b)）。其他多接入边缘计算服务器的参数

资源1的EU效用与B11的关系。(b) 资源2的EU效用与B12的关系。(c) 资源3的EU效用与B13的关系。(d) EU效用与B1的关系)

与第5节开头设置的图6中的主要观察结果阐述如下。

(1) 由于资源增加，原始MEC的单价降低。另一个原因是新加入的MEC带来了此类资源。此外，新加入的MEC的价格高于任何其他原始MEC，因为前者的资源数量是最小量。

(2) 由于已存在的MEC价格下降且EU的预算保持不变，所有边缘用户对资源1的需求增加。

(3) 新加入的MEC因其能够向边缘用户提供自身的空闲资源而获得收入。

因此，任何拥有空闲资源的边缘用户都可以充当MEC。

5.5. 示例4：算法2的收敛性

三个参数影响算法2的收敛速度：初始价格、精度要求ϵ和步长参数δj。以资源1的定价问题为例，分析这些参数对算法2的影响。

（1）初始单价。我们设定精度要求ϵ=10−10和δj = 0.05。图7显示，不同的初始价格对算法的收敛速度产生影响。初始单价越接近均衡价格，算法2的收敛速度越快。

（2）ϵ。为了消除另外两个参数的影响，我们设定δj = 0.02以及j= 1,2,3。实验重复100次，以消除初始价格随机性带来的影响。平均结果汇总于表5，其中还显示了ϵ= 10−1, 10−2,…, 10−10的迭代次数。精度要求越高（即ϵ的值越低），迭代次数t越高，且单价越接近最优值。

（3）δj。我们将多接入边缘计算服务器的初始价格设为p11=6, p21=2, p31=3，和ϵ = 10−10。图(a)和(b)表明，当步长参数δj较大时，该算法收敛更快。

5.6. 示例5：去中心化机制：SGA与集中式方案

为了比较和评估所提出的去中心化机制（SGA）的性能，我们使用三种集中式优化方案（即IPA、SQP和ASA）实现了全局效用最大化解（即maxX, P ∑i∈N,j∈M Ui +Uj）。

对于某种资源类型1，我们进行了多次实验，以比较当EU1的预算为B1,1 = 5, 10,…, 50时的全系统总效用。MECs及其他参数

p1,1= p2,1=p3,1= 6。(b) p1,1= p2,1= p3,1= 0.5)

表5 不同ϵ下多接入边缘计算服务器的资源1单价

精度要求 ϵ	t	p11	p21	p31
10−1	26	1.9299	1.2985	0.9544
10−2	47	1.4861	1.0921	0.8708
10−3	52	1.4477	1.0835	0.8666
10−4	67	1.4440	1.0828	0.8662
10−5	80	1.4437	1.0827	0.8662
10−6	92	1.4436	1.0827	0.8662
10−7	109	1.4436	1.0827	0.8662
10−8	117	1.4436	1.0827	0.8662
10−9	127	1.4436	1.0827	0.8662
10−10	140	1.4436	1.0827	0.8662

边缘用户的设置与实验部分开始时设定的参数相同。结果如表6所示。

研究结果表明，随着表6中EU1的预算增加，所有机制的系统总效用也随之增加。SGA的总效用略低于三种集中式方法。与集中式优化方案相比，SGA获得的总效用几乎与IPA、SQP和ASA相当，且在所有情况下其性能损失均低于1%。该结果说明了所提出的去中心化机制在总效用方面的可行性和有效性。

表6 随B1,1 变化的总效用比较

B1,1	SGA	IPA	SQP	ASA
5	253.7504	254.2595	254.0912	254.3389
10	274.8481	275.0994	275.0144	275.0994
15	301.8510	302.2093	302.0904	302.2093
20	332.4434	333.0566	332.8519	333.0566
25	3