第二十六天（数据结构：树（补充版程序请看下一篇））

树
    树一个有n(n >= 0)个节点组成一个有限集合
        1 有且仅有一个被称为根节点(root)的节点
        2 当n > 1,除了根节点之外，剩余的m个节点互不相交，分别都是一颗颗的树
            这些树我们称为子树，每一个节点实际上都是一棵树(子树)的根

    树的每一个节点都包含两个部分
        1 数据元素
        2 节点和节点之间的关系，不像原先的链表，关系都是一个方向上面
            1个节点可能有n个节点和它有关系(因此它就不是一个线性表)
            每个节点的关系数量我们称为这个节点的度
                度：出度(我可以到别人)，树里面我们暂时只考虑出度  入度(别人到我)
        在树里面如果一个节点和别人没有关系了(出度为0)，这种节点我们称之为终端节点(叶子节点)

        树的层次(深度)：从根开始，根为第一层，根的儿子为第二层，儿子的儿子为第三层......不能乱了辈分

    二叉树 -- 一种树的形态，每个节点的度(出度)最多只有2，如果你的树满足这一点
        这棵树就被称为二叉树，二叉树我们就可以分大小两边
        根据这个大小我们可以分为左右关系，左边的被称为左儿子
        右边的被称为右儿子
    
    二叉树有5种形态
        1 空树
        2 只有一个根节点
        3 只有一个左儿子
        4 只有一个右儿子
        5 有左右儿子

    二叉树的基本性质
        1 在二叉树的第i(i从1开始)层上面最多有 2 ^ (i - 1)

        2 深度为k的二叉树最多有 2 ^ k - 1 个节点

        3 对于任何一个二叉树，有如下关系
            n0为度为0的节点个数 n1为度为1的节点个数 n2为度为2的节点个数 
            n为总节点数
                n = n2 + n1 + n0
                n = 分支数(出度的个数) + 1
            分支数 = 2 * n2 + 1 * n1 
                n =  2 * n2 + 1 * n1 + 1
            so:
                2 * n2 + 1 * n1 + 1 = n2 + n1 + n0
            -> n2 + 1 = n0


        ->这个性质对于任何一个多叉树都是适用的
            假设你是一个m叉树
                n = n0 + n1 + n2 + n3 + .... + nm
                n = 分支数(出度的个数) + 1
            分支数 = m * nm + (m - 1) * n(m - 1) + .... + 3 * n3 + 2 * n2 + 1 * n1
        n0 + n1 + n2 + n3 + .... + nm = m * nm + (m - 1) * n(m - 1) + .... + 3 * n3 + 2 * n2 + 1 * n1 + 1
            n0 = 1 + n2 + 2n3 + 3n4 + .... + (m - 1)nm ----> 可以直接套公式的

        二叉树的两种特殊的形态
            满二叉树：深度为k的二叉树有 2 ^ k - 1 个节点，这颗二叉树就是一颗满二叉树
                不增加深度的情况，不能往这棵树里面添加节点

            完全二叉树：
                1 除去最后一层是一个满二叉树
                2 最下面的那一层所有的节点都是尽左排，一个节点的左边是不能添加新的节点
            满二叉树是一个特殊的完全二叉树     

        4 对于一个有n个节点的完全二叉树从上到下，从左往右，从1开始进行编号
            根为1 根的左儿子为2 根的右儿子为3 ......
                假设有一个节点的编号为 i 
            则，这个节点的父节点的编号为 i / 2
                如果它有左儿子，那么它左儿子的编号为 2 * i
                如果它有右儿子，那么它右儿子的编号为 2 * i + 1


        5 具有n个节点的完全二叉树的深度为 log2(n) 向下取整 + 1
            假设深度为k
                 2 ^ (k - 1) <= n < 2 ^ k

计算机如何来使用二叉树
    首先我们应该要保存二叉树
        1 数据
        2 左右儿子(关系)

    1 顺序结构来保存二叉树
        由于完全二叉树是可以表示左右儿子关系和父亲关系的
        因此完全二叉树才能用数组存储
            就是上面的第4个性质
        如果这棵树不是完全二叉树呢？数组保存不了，因此需要将不是完全二叉树的二叉树补全为完全二叉树
            才能使用数组保存，这么一来浪费就有点多了
            因此顺序结构存储二叉树就不是那么方便


    2 链式结构保存
        1 有数据域
        2 有指针域 -> 至少要有两个指针 lchild rchild
            struct TreeNode
            {
                Tree_Datatype data;//树的数据
                struct TreeNode * lchild;//指向它的左儿子
                struct TreeNode * rchild;//指向它的右儿子
            };

二叉树的遍历：
    遍历:根据某一种规则对集合里面所有元素的访问(必须访问1次，并且只能访问一次)

        二叉树的遍历有三种(左边在右边的前面)
            1 先序(根)遍历 -> 根  左  右
                首先:先访问根节点
                再次：以相同的规则继续访问根节点的左儿子
                最后：以相同的规则继续访问根节点的右儿子

            2 中序(根)遍历 -> 左  根  右
                首先以相同的规则访问它的左孩子
                访问根节点
                最后以相同的规则继续访问根节点的右儿子

            3 后序(根)遍历 -> 左  右  根
                首先以相同的规则访问它的左孩子
                再以相同的规则继续访问根节点的右儿子
                访问根节点
    练习：
        一棵二叉树的先序为：EBADCFHGIKJ
                中序为:ABCDEFGHIJK
            请画出这棵树
        先中序、中后序能确定这棵树
        但是先后序不一定能确定这棵树



建立一棵二叉树：建立树之前我们需要先确定左边是什么关系，右边是什么关系
    这种确定关系的二叉树我们叫二叉排序树
        一般是根绝大小来进行确定的
            一般左边为小右边为大
        示例代码为左小右大
    

删除树里面一个节点 : 删除一个节点之后我们不能影响这个树的排序性(每个节点的左边都是小的，右边都是大的)
    1 最特殊的，这个树是空树
    2 这棵树就只有这么一个根节点，你还把它删了(这会导致树的根节点发生变化)
    3 删除的这个节点只有一个左孩子
    4 删除的这个节点只有一个右孩子
    5 你要删除的这个节点是一个叶子
    6 你要删除的节点有两个孩子


我们在建立这棵树的时候，这棵树有可能变得奇怪
    比如说这棵树变得像一个链表一样
        如你的加入顺序为ABCDEFG
    还有像一个蚯蚓一样
    还有很多种奇怪的情况，遇到这种情况树的查找效率就变得很低了
    树的优势就没有了，因此我们需要处理，让这棵树看起来更像一棵树
    这种操作我们叫平衡处理

AVL树 -> 平衡二叉树 height-balanced tree / balanced binary tree
    规定AVL树里面所有节点的左孩子和右孩子的高度差的绝对值不超过1
    这颗树我们就叫AVL树

AVL树在创建的时候我们就需要做平衡处理，加入一个节点就可能造成某一个节点不平衡
    因此我们需要对每个节点都要做平衡处理 -- 
    由于没加如一个节点都要做平衡处理，因此它的添加效率较低
    但是由于是平衡的，因此它的查找效率很高
    如果想要它的插入效率高一点，查找效率也高 --- 红黑树(有限的平衡)

AVL树我们需要做平衡处理
    1 当我们往一个节点的左边的左边插入了一个节点，这个时候引起了这个节点的不平衡
            单向右旋
    2 当我们往一个节点的右边的右边插入了一个节点，这个时候引起了这个节点的不平衡
            单向左旋
    3 当我们往一个节点的左边的右边插入了一个节点，这个时候引起了这个节点的不平衡
            先左旋再右旋
    4 当我们往一个节点的有边的左边插入了一个节点，这个时候引起了这个节点的不平衡
            先右旋在左旋
        左左为右
        右右为左
        左右为左右
        右左为右左



线索：树是非线性的，通过线索我们可以将树的遍历变成线性的
    先序线索  中序线索  后序线索
        将树的非线性转换成一个链表的线性
        在树节点里面加上一个成员
            struct ListTreeNode * _prenext; 先序线索指针  指向先序遍历的下一个
        中序后序亦然


最小生成树 ： 将所有的节点都连接起来，节点与节点的连接线上面有一个权值()
    为了解决成本最低的问题
        每次都在带加入节点里面找到权值最小的，将它加入到我们的树里面去
            加入的时候不一定会和原树连接在一起，别急，你还要加的
            当所有的节点全部被覆盖，你的最小生成树就弄完了

哈夫曼树：每个节点都是带值的，每次在待加入的节点里面找最小的两个
    将这两个最小的节点合成一个新的节点
        根据大小关系将树给建立出来

    多个树在一起就是森林
平时看到的树都是多叉树，但是处理的时候我们需要转换为二叉树
    将多叉树转为二叉树：
        1 先将所有的兄弟依次连接起来(大哥连二哥，二哥连三哥.....)
        2 断开除了大哥和父亲的关系以外的父子关系
        3 拉开兄弟之间的连线，节点变成它前面的那个哥哥的右孩子(大哥的右孩子是二哥，二哥的右孩子是三哥..)
            长子变成它的左孩子
    森林转为二叉树 -> 根据多叉树转二叉树的规则可以知道，
        转出来的二叉树是没有右孩子的，其它树都往前面一棵树上的右孩子去接
    二叉树转树
        1 将父节点与子节点的右孩子，右孩子的右孩子，右孩子的右孩子的右孩子...连接起来
        2 断掉所有的右孩子关系
    二叉树转森林
        根节点的右孩子是二颗树
        根节点的右孩子的右孩子是第三颗树
        .....