平衡树学习笔记（1）——splay

有关splay的一些事

1.关于定义

​ splay原名伸展树（Splay Tree），也叫分裂树，是一种二叉排序树，它能在O(log n)内完成插入、查找和删除操作。它由丹尼尔·斯立特（Daniel Sleator） 和 罗伯特·恩卓·塔扬（Robert Endre Tarjan） 在1985年发明的。

​ 伸展树是一种自调整形式的二叉查找树，它会沿着从某个节点到树根之间的路径，通过一系列的旋转把这个节点搬移到树根去。

2.实现部分

0.前置知识

新建节点：

int get(int &x,int v,int fa)
{
    x=++tot;
    key[x]=v;
    f[x]=fa;
   	size[x]=1;
}

让序列中的第x个数旋转到根的：

int st(int y,int z)
{
	int x=root;
	while (size[L]+1!=y)
		if (y<size[L]+1)
			x=L;
		else
			y-=size[L]+1,x=R;
   	splay(x,z);
   	return x;
}

pd(x)表示x是其父亲的哪个儿子（0为左，1为右）。

1.旋转（rotate）

首先，最重要的就是旋转部分了。比较重要的就是理解其核心思想。

其中，旋转分为单旋和双旋，图一到图二是单旋的基本结构。

图一

图二

用语言描述即为：

1. 将y的左儿子设为x的右儿子。$(son[y][0]=son[x][1])$
2. 把原x的右儿子的父亲设为y。$(f[son[x][1]]=y)$
3. 将y的父亲的左或右（具体看y是它的左还是右儿子）儿子变为x。$(son[f[y]][pd(y)]=x)$
4. 将x的父亲变为原来y的父亲。$(f[x]=f[y])$
5. 把x的右儿子变成y。$(son[x][1]=y)$
6. 将y的父亲设为x。$(f[y]=x)$
7. 最后记得update。

int rotate(int x)
{
    int y=f[x],k=pd(x);
	son[y][k^1]=son[x][k];
    f[son[x][k]]=y;
    son[f[y]][pd(y)]=x;
    f[x]=f[y];
    son[x][k]=y;
    f[y]=x;
    update(y),update(x);
}

2.伸展（splay）

而在splay里面，就需要用到双旋（即对于爷爷，父亲和儿子三点共线时，先旋父亲，再旋儿子）。

如图。

图三

先rotate(y)，变为：

图四

再rotate(x),变为：

图五

嗯，是这样吧…

接着就完成了一次双旋。

然而，对于splay(x,y)，我们需要做的是将x旋转到y的儿子的位置。

所以我们要不断地旋转它（x），直到它成为y的儿子。

int splay(int x,int g)
{
	while (f[x]!=g)
	{
		int y=f[x],z=f[y];
		if (z!=g)
			if (pd(x)==pd(y))
				rotate(y);//此处为双旋（先旋父亲）
			else
				rotate(x);//单旋
		rotate(x);
	}
	if (!g)
		root=x;
}

3.建spaly tree（build）

其实建树有很多方法，这里讲比较通用的一种。

就是像线段树一样从root节点开始，每次分到它的左右儿子去。

int build(int &x,int l,int r,int fa)
{
    mid=(l+r)/2;
	if (l<=r)
   	    get(x,a[mid],fa),build(son[x][0],l,mid-1,x),build(son[x][1],mid+1,r,x),update(x);
}

当然，还有比较暴力的方法：

1.先建成一条链，再通过splay使其尽量平衡。

2.建一个只有根节点的树，再不断插入（insert）节点。

具体视情况而定。

4.插入（insert）

方法一：插入值为x的点，那么我们可以先找到它的前驱以及后继，再新建节点，并且将该节点设为前驱和后继的父亲。

方法二：将这个点的前驱设为根，后继设为根的右儿子，那么直接在后继的左儿子处增加这个节点即可。

很好理解吧。

以下代码为方法二：

int ins(int x,int y)
{
	st(x,0);
	st(x+1,root);
	get(son[son[root][1]][0],y,son[root][1]);
	update(son[root][1]),update(root);
}

5.删除（del）

由于delete为系统自带函数，所以改下名。

跟插入的道理其实差不多，将x的前驱旋到更，后继后继设为根的右儿子，那么后继的左儿子只能为x（证明显然）。

删掉就好了。

int del(int x)
{
    st(x,0);
    st(x+2,root);
    son[son[root][1]][0]=0;
    update(son[root][1]),update(root);
}

6.替换（replace）

其实道理很简单，就是在splay tree里找到节点所在的位置，然后直接修改更新就好了。

int replace(int a,int b)
{
	int x=root;
	a++;
	while (size[L]+1!=a)
		if (a<size[L]+1)
			x=L;
		else
			a-=size[L]+1,x=R;
	key[x]=b,splay(x,0);
}

7.统计答案（getans）

这个视不同情况而定，很难写，但是总的来说就是：

比如统计x~y的答案，那么我们就直接将x旋到根，y的后继旋到根的左儿子，同理，y的后继的左子树即为答案。

3.一些废话

• 其实splay之前学过，但是一直搞不懂它的内涵，一直靠背代码为生。
• 但是经过本次的（非深入）学习，大概明白了splay的内涵，期待可以在考场上熟练的码出正确的splay（像线段树那样）
• 希望通过本次的学习，对splay不再畏惧。

4.不知道是不是废话的话

1. splay要尽量打在struct里，不要问为什么，常数优化。
2. 对于一些很难维护的东西，要考虑两点：
   1. 是不是可以通过套用其他的算法或者结构解决。
   2. 实在想不到的话，可以先转化成线段树式的维护，再通过类比思想转移过来。
3. 在维护时，记得该update的地方一定要update（否则正确率担忧），不该update的地方一定不要update（否则时间担忧），所以在打splay时一定要考虑清楚了再打。
4. 使用#define可以节省很多代码量，也可以节省很多时间。
5. 切记！！！空间一定要开够，但是不要爆掉！！！
6. 必要时可以建一个栈来存放无用节点，可以节省很多空间。
7. 其实splay也叫spaly…

（中考加油！）

预告：下一篇平衡树学习笔记（2）——替罪羊树