poj 2533 Longest Ordered Subsequence

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题目大意: 求最长上升子序列

思路: 动态规划，LIS

分析: 

最长上升子序列裸题，有两种方法，首先是复杂度O(N^2)的动态规划方法。用dp[i]表示以第i个数字结尾的最长上升子序列（LIS）长度，那么状态转移时，对于所有j<i，Aj<Ai的j（Aj表示第j个数字），计算最大的dp[j] + 1就行了。

代码:

#include <cstdio>
#include <memory.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 1000 + 10;
int n, num[maxn], dp[maxn];

void lis()
{
	for (int i = 1; i <= n; ++i) dp[i] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = 1; j < i; ++j)
			if (num[j] < num[i])
				dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		scanf("%d", &num[i]);
	lis();
	int maxl = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) maxl = max(maxl, dp[i]);
	printf("%d\n", maxl);
	return 0;
}

接着是复杂度为O(NlogN)的方法。应该是一种贪心算法。这种算法的做法是开一个长度为n的数组（这里叫LIS），其中LIS[i]表示上升子序列长度为i时序列最后一个数的最小值。一开始看了几个大牛的解释，弄的云里雾里，不知道为什么要这么做。后来渐渐有点明白。以下是我的理解。

对于输入的一组数字，我们需要一个个遍历并逐渐构造出一个上升子序列。构造上升子序列时，要使得最后一个数尽量小。两个长度一样的上升子序列，最后一个数小的那个肯定更有潜力，能拓展出更长的子序列。

LIS其实可以看做一个存放临时最优解的数组。假设当前构造出来的上升子序列长度为l，那么LIS[1]到LIS[l]存放的就是当前上升子序列的第1到第l个数字。对于一个输入的序列，我们一开始先把LIS[1]设置为序列第一个数字，并定义一个变量maxl，初始化为1，表示目前构造的上升子序列长度为1，最后一个数字为序列的第一个数字。

接下来遍历序列的第2到第n位，对每个遍历到的数字，我们判断它和LIS[maxl]的大小，如果更大，那么就接在LIS后面，即LIS[++maxl]，构成一个更长的上升子序列；否则的话，应该利用当前这个数字更新目前的上升子序列，从LIS[1]到LIS[maxl]中找到第一个大于等于该数字的位置，替换成该数字。这么做可以使上升子序列更加紧凑。

代码:

#include <cstdio>
using namespace std;

const int maxn = 1000 + 10;
int n, num[maxn], LIS[maxn];

int binary_search(int start, int end, int target)
{
	while (end > start) {
		int mid = (end + start) / 2;
		if (target > LIS[mid])
			start = mid + 1;
		else
			end = mid;
	}
	return start;
}

int lis()
{
	LIS[1] = num[1];
	int maxl = 1;
	for (int i = 2; i <= n; ++i) {
		if (num[i] > LIS[maxl])
			LIS[++maxl] = num[i];
		else {
			int pos = binary_search(1, maxl, num[i]);
			LIS[pos] = num[i];
		}
	}
	return maxl;
}

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		scanf("%d", &num[i]);
	printf("%d\n", lis());
}