回溯算法——总览

文章目录

一、介绍

1. 工作原理

2. 剪枝

3. 框架代码

二、常用术语

三、优势与局限性

四、回溯典型例题

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一、介绍

「回溯算法backtrackingalgorithm」是一种通过穷举来解决问题的方法，它的核心思想是从一个初始状态出发，暴力搜索所有可能的解决方案，当遇到正确的解则将其记录，直到找到解或者尝试了所有可能的选择 都无法找到解为止。

1. 工作原理

回溯算法通常采用“深度优先搜索”来遍历解空间。在二叉树章节中，我们提到前序、中序和后序遍历都属 于深度优先搜索。接下来，我们利用前序遍历构造一个回溯问题，逐步了解回溯算法的工作原理。

例题一 ：给定一个二叉树，搜索并记录所有值为7的节点，请返回节点列表。

对于此题，我们前序遍历这颗树，并判断当前节点的值是否为7，若是则将该节点的值加入到结果列表 res 之中。相关过程实现如下图和以下代码所示。

def pre_order(root: TreeNode):
""" 前序遍历：例题一"""
    if root is None:
        return
    if root.val == 7:
        # 记录解
        res.append(root)
    pre_order(root.left)
    pre_order(root.right)

之所以称之为回溯算法，是因为该算法在搜索解空间时会采用“尝试”与“回退”的策略。当算法在搜索过程中遇到某个状态无法继续前进或无法得到满足条件的解时，它会撤销上一步的选择，退回到之前的状态， 并尝试其他可能的选择。

对于例题一，访问每个节点都代表一次“尝试”，而越过叶结点或返回父节点的 return 则表示“回退”。 值得说明的是，回退并不仅仅包括函数返回。为解释这一点，我们对例题一稍作拓展。

例题二：在二叉树中搜索所有值为7的节点，请返回根节点到这些节点的路径。

在例题一代码的基础上，我们需要借助一个列表path 记录访问过的节点路径。当访问到值为7的节点时，则复制path并添加进结果列表res 。遍历完成后， res 中保存的就是所有的解。

def pre_order(root: TreeNode):
""" 前序遍历：例题二"""
    if root is None:
        return
    # 尝试
    path.append(root)
    if root.val == 7:
        # 记录解
        res.append(list(path))
    pre_order(root.left)
    pre_order(root.right)
    # 回退
    path.pop()

在每次“尝试”中，我们通过将当前节点添加进 path 来记录路径；而在“回退”前，我们需要将该节点从 path 中弹出，以恢复本次尝试之前的状态。 我们可以将尝试和回退理解为“前进”与“撤销”，两个操作是互为逆向的。

2. 剪枝

复杂的回溯问题通常包含一个或多个约束条件，约束条件通常可用于“剪枝”。

例题三：在二叉树中搜索所有值为7的节点，请返回根节点到这些节点的路径，并要求路径中不包含值为3的节点。

为了满足以上约束条件，我们需要添加剪枝操作：在搜索过程中，若遇到值为3的节点，则提前返回，停止继续搜索。

def pre_order(root: TreeNode):
    """ 前序遍历：例题三"""
    # 剪枝
    if root is None or root.val == 3:
        return
    # 尝试
    path.append(root)
    if root.val == 7:
        # 记录解
        res.append(list(path))
    pre_order(root.left)
    pre_order(root.right)
    # 回退
    path.pop()

剪枝是一个非常形象的名词。如下图所示，在搜索过程中，我们“剪掉”了不满足约束条件的搜索分支， 避免许多无意义的尝试，从而提高了搜索效率。

3. 框架代码

接下来，我们尝试将回溯的“尝试、回退、剪枝”的主体框架提炼出来，提升代码的通用性。 在以下框架代码中， state 表示问题的当前状态， choices 表示当前状态下可以做出的选择。

def backtrack(state: State, choices: list[choice], res: list[state]):
     """ 回溯算法框架"""
     # 判断是否为解
    if is_solution(state):
        # 记录解
        record_solution(state, res)
        # 停止继续搜索
        return
    # 遍历所有选择
    for choice in choices:
        # 剪枝：判断选择是否合法
        if is_valid(state, choice):
            # 尝试：做出选择，更新状态
            make_choice(state, choice)
            backtrack(state, choices, res)
            # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
            undo_choice(state, choice)

接下来，我们基于框架代码来解决例题三。状态state 为节点遍历路径，选择 choices 为当前节点的左子节点和右子节点，结果res是路径列表。

def is_solution(state: list[TreeNode])-> bool:
     """ 判断当前状态是否为解"""
     return state and state[-1].val == 7
def record_solution(state: list[TreeNode], res: list[list[TreeNode]]):
     """ 记录解"""
     res.append(list(state))
def is_valid(state: list[TreeNode], choice: TreeNode)-> bool:
     """ 判断在当前状态下，该选择是否合法"""
     return choice is not None and choice.val != 3
def make_choice(state: list[TreeNode], choice: TreeNode):
     """ 更新状态"""
     state.append(choice)
def undo_choice(state: list[TreeNode], choice: TreeNode):
     """ 恢复状态"""
     state.pop()
def backtrack(
     state: list[TreeNode], choices: list[TreeNode], res: list[list[TreeNode]]
     ):
""" 回溯算法：例题三"""
# 检查是否为解
if is_solution(state):
    # 记录解
    record_solution(state, res)
# 遍历所有选择
for choice in choices:
    # 剪枝：检查选择是否合法
    if is_valid(state, choice):
    # 尝试：做出选择，更新状态
    make_choice(state, choice)
    # 进行下一轮选择
    backtrack(state, [choice.left, choice.right], res)
    # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
    undo_choice(state, choice)

根据题意，我们在找到值为7的节点后应该继续搜索，因此需要将记录解之后的return 语句删除。下图对比了保留或删除 return 语句的搜索过程。

相比基于前序遍历的代码实现，基于回溯算法框架的代码实现虽然显得啰嗦，但通用性更好。实际上，许多回溯问题都可以在该框架下解决。我们只需根据具体问题来定义 state 和 choices ，并实现框架中的各个方法即可。

二、常用术语

为了更清晰地分析算法问题，我们总结一下回溯算法中常用术语的含义，并对照例题三给出对应示例。

三、优势与局限性

回溯算法本质上是一种深度优先搜索算法，它尝试所有可能的解决方案直到找到满足条件的解。这种方法的优势在于它能够找到所有可能的解决方案，而且在合理的剪枝操作下，具有很高的效率。 然而，在处理大规模或者复杂问题时，回溯算法的运行效率可能难以接受。

‧ 时间：回溯算法通常需要遍历状态空间的所有可能，时间复杂度可以达到指数阶或阶乘阶。

‧ 空间：在递归调用中需要保存当前的状态（例如路径、用于剪枝的辅助变量等），当深度很大时，空间 需求可能会变得很大。

即便如此，回溯算法仍然是某些搜索问题和约束满足问题的最佳解决方案。对于这些问题，由于无法预测哪些选择可生成有效的解，因此我们必须对所有可能的选择进行遍历。在这种情况下，关键是如何进行效率优化，常见的效率优化方法有两种。

‧ 剪枝：避免搜索那些肯定不会产生解的路径，从而节省时间和空间。

‧ 启发式搜索：在搜索过程中引入一些策略或者估计值，从而优先搜索最有可能产生有效解的路径。

四、回溯典型例题

回溯算法可用于解决许多搜索问题、约束满足问题和组合优化问题。

搜索问题：这类问题的目标是找到满足特定条件的解决方案。

‧ 全排列问题：给定一个集合，求出其所有可能的排列组合。

‧ 子集和问题：给定一个集合和一个目标和，找到集合中所有和为目标和的子集。

‧ 汉诺塔问题：给定三个柱子和一系列大小不同的圆盘，要求将所有圆盘从一个柱子移动到另一个柱子， 每次只能移动一个圆盘，且不能将大圆盘放在小圆盘上。

约束满足问题：这类问题的目标是找到满足所有约束条件的解。

‧ 𝑛皇后：在𝑛×𝑛的棋盘上放置𝑛个皇后，使得它们互不攻击。

‧ 数独：在9×9的网格中填入数字1~9，使得每行、每列和每个3×3子网格中的数字不重复。

‧ 图着色问题：给定一个无向图，用最少的颜色给图的每个顶点着色，使得相邻顶点颜色不同。

组合优化问题：这类问题的目标是在一个组合空间中找到满足某些条件的最优解。

‧ 0‑1背包问题：给定一组物品和一个背包，每个物品有一定的价值和重量，要求在背包容量限制内，选 择物品使得总价值最大。

‧ 旅行商问题：在一个图中，从一个点出发，访问所有其他点恰好一次后返回起点，求最短路径。

‧ 最大团问题：给定一个无向图，找到最大的完全子图，即子图中的任意两个顶点之间都有边相连。

请注意，对于许多组合优化问题，回溯都不是最优解决方案。

‧ 0‑1背包问题通常使用动态规划解决，以达到更高的时间效率。

‧ 旅行商是一个著名的NP‑Hard问题，常用解法有遗传算法和蚁群算法等。

‧ 最大团问题是图论中的一个经典问题，可用贪心等启发式算法来解决。