排序算法——插入排序

一、介绍

「插入排序insertionsort」是一种简单的排序算法，它的工作原理与手动整理一副牌的过程非常相似。 具体来说，我们在未排序区间选择一个基准元素，将该元素与其左侧已排序区间的元素逐一比较大小，并将该元素插入到正确的位置。

下图展示了数组插入元素的操作流程。设基准元素为 base ，我们需要将从目标索引到base 之间的所有元素向右移动一位，然后再将 base 赋值给目标索引。

二、算法流程

插入排序的整体流程如下图所示。

1. 初始状态下，数组的第1个元素已完成排序。

2. 选取数组的第2个元素作为 base ，将其插入到正确位置后，数组的前2个元素已排序。

3. 选取第3个元素作为 base ，将其插入到正确位置后，数组的前3个元素已排序。

4. 以此类推，在最后一轮中，选取最后一个元素作为 base ，将其插入到正确位置后，所有元素均已排序。

三、代码

def insertion_sort(nums: list[int]):
    """ 插入排序"""
    # 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
    for i in range(1, len(nums)):
        base = nums[i]
        j = i- 1
        # 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
        while j >= 0 and nums[j] > base:
            nums[j + 1] = nums[j] # 将 nums[j] 向右移动一位
            j -= 1
        nums[j + 1] = base # 将 base 赋值到正确位置

nums = [1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0]
insertion_sort(nums)
print(nums)

四、算法特性

‧ 时间复杂度𝑂(𝑛2)、自适应排序：最差情况下，每次插入操作分别需要循环𝑛−1、𝑛−2、…、2、1 次，求和得到(𝑛−1)𝑛/2，因此时间复杂度为𝑂(𝑛2)。在遇到有序数据时，插入操作会提前终止。 当输入数组完全有序时，插入排序达到最佳时间复杂度𝑂(𝑛)。

‧ 空间复杂度𝑂(1)、原地排序：指针𝑖和𝑗使用常数大小的额外空间。

‧ 稳定排序：在插入操作过程中，将元素插入到相等元素的右侧，不会改变它们的顺序。

五、插入排序优势

插入排序的时间复杂度为𝑂()，而后篇将学习的快速排序的时间复杂度为𝑂(𝑛log𝑛)。尽管插入排序的时间复杂度相比快速排序更高，但在数据量较小的情况下，插入排序通常更快。 这个结论与线性查找和二分查找的适用情况的结论类似。

快速排序这类𝑂(𝑛log𝑛)的算法属于基于分治的 排序算法，往往包含更多单元计算操作。而在数据量较小时，𝑛2和𝑛log𝑛的数值比较接近，复杂度不占主导作用；每轮中的单元操作数量起到决定性因素。

实际上，许多编程语言（例如Java）的内置排序函数都采用了插入排序，大致思路为：对于长数组，采用基于分治的排序算法，例如快速排序；对于短数组，直接使用插入排序。 虽然冒泡排序、选择排序和插入排序的时间复杂度都为𝑂()，但在实际情况中，插入排序的使用频率显著高于冒泡排序和选择排序，主要有以下原因：

‧ 冒泡排序基于元素交换实现，需要借助一个临时变量，共涉及3个单元操作；插入排序基于元素赋值实现，仅需1个单元操作。因此，冒泡排序的计算开销通常比插入排序更高。

‧ 选择排序在任何情况下的时间复杂度都为𝑂()。如果给定一组部分有序的数据，插入排序通常比选择排序效率更高。

‧ 选择排序不稳定，无法应用于多级排序。