32、自底向上的 β 归约与高阶分离逻辑

自底向上的 β 归约与高阶分离逻辑

自底向上的 β 归约算法特性

自底向上的 β 归约算法的一个有趣特性是它利用了非持久性。在许多应用场景中，如果不需要数据的持久性，那么就无需为持久性付出额外的代价。传统的选择通常是持久化的，而该算法提供了一种不同的设计思路。例如，Lamping 图上的归约也不具备持久性，这从不同的角度看，既可能是一种限制，也可能是提高效率的来源。

另一个关键问题是回读。对于那些在归约过程中不需要检查项结构的应用来说，其需求具有更大的灵活性。但如果回读是必需的，那么 Lamping 图和 SLC 就不那么有吸引力了。而使用该算法的表示方式进行回读是免费的，因为有向无环图（DAG）的一个优点是它可以像树一样容易地被查看，无需进行转换。

因此，自底向上的 β 归约技术非常适合那些（1）不需要持久性，但（2）需要细粒度回读的应用。

算法核心思想

该算法结合了两个关键思想：
- 将 λ 项表示为 DAG，以允许由 β 归约引起的共享。
- 引入子节点到父节点的反向指针和 λ 到变量的链接，以有效地指导搜索和构造。

第一个思想允许在一个项内进行共享，而第二个思想允许在归约过程中进行共享。这两个思想实际上是相互促进的：为了利用反向指针，需要 DAG 表示，这样在构建项时就无需复制被替换变量的子项，这也是算法实现速度和空间效率的来源。

算法优势

该算法简单直接，无需使用组合子、de Bruijn 索引或挂起等模糊转换来表示项，这对于需要检查项的 λ 演算客户端来说是一个很好的特性。此外，在图归约领域，它是完全惰性的。

高阶分离逻