五、动态规划

刚接触动态规划的时候，我总是和递归递推混淆，感觉他们是一类问题，但接触得多了就理解到，动态规划更多的是是一种思想，一种把整体化为部分，把大问题化为小问题的思想。用动态规划求解一类问题是，需要将问题的全过程恰当的分成若干个相互联系的阶段，以便按一定的次序去求解。或者从初始状态到结束状态，或者反过来，最终求出最优活动路线。

动态规划的解决过程，重点在于在做每一步决策是，列出各种可能的局部解，然后依据某种判定条件，舍弃那些肯定不能得到最优解的局部解，以每一步都是最优的来保证全局是最优的。

本来动态规划已经就让人很晕头转脑的了，但接着就是动态规划里的一大内容——背包问题。背包问题模板性很强，以至于一些问题几乎就能够生生套出来结果，但是在我看来背包问题有两大难点：一是理解背包的原理，这个包括背包问题能够求解的原理和背包问题进行空间优化的原理，这个当时在我能够做一些背包题了之后还在纠结，记得我当时就对着课件上那个价值和重量的例题列表，一个个计算着填表，对比着理解，前前后后画了十多遍，就只是发现它很神奇的就一步一步把性价比低的换成了性价比高的，结果就达到目的了，但具体是怎么着变的，我又说不能够明白。二是在题目中找到正确的背法（我这样称呼它），那种直接看到就能套上模板的题自然不算，要找背法的是难一点的，要找得到哪个是背包，要用怎样的循环，加什么判断条件（if语句），这些都是很麻烦的。

这是三种背包模板：

（1） 0-1背包问题：

  for(i=1……….N)

                  for(j=V..…..…0)

                            dp[j]=max{dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]};

（2） 完全背包问题：

 for(i=1……….N)

                  for(j=0..…..…V)

                            dp[j]=max{dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]};

（3） 多重背包问题：

 for(i=1……….N)

                  for(j=V..…..…0)

                            for(k=0;k<num[i];k++)

                                    dp[j]=max{dp[j],dp[j-k*c[i]]+k*w[i]};

   这几个模板值得注意的是，完全背包的j循环顺序与其他两个不同，至于为什么，不知道。还有就是多重背包的k循环上有一定的超时可能，所以有一个二进制优化的思想值得考虑，但是这个思想我只用过一次，而且还没有AC掉，五一特训的时候有一个一看就是背包的题，老师说一看就是背包就肯定不是，一定有坑，但是那个题我们好像也只会背包，TLE，让我想到这个二进制做法，依旧TLE，终于到最后师哥说要先贪心再背包，也算是让我长了见识，原来可以混着用，而且看上去好没道理混在一起用，果然，经验是很重要的。