浮点数内存布局（精华版）

1.float和double的范围和精度

（1）float和double的表示范围是由指数的位数来决定的。float的指数位有8位，而double的指数位有11位，分布如下：
float：1bit（符号位）+8bits（指数位）+23bits（尾数位）
double：1bit（符号位）+ 11bits（指数位）+ 52bits（尾数位）

（2）在数学中，特别是在计算机相关的数字（浮点数）问题的表述中，有一个基本表达法：
　（浮点）数值 =      尾数    ×    底数 ^ 指数，（附加正负号）
于是，float的指数范围为-127~128（8bits（指数位）），而double的指数范围为-1023~1024（11bits（指数位）），并且指数位是按补码的形式来划分的。其中负指数决定了浮点数所能表达的绝对值最小的数；而正指数决定了浮点数所能表达的绝对值最大的数，也即决定了浮点数的取值范围(不代表全部位数有效)。float的范围为-2^128 ~ +2^128，也即-3.40E+38 ~ +3.40E+38；double的范围为-2^1024 ~ +2^1024，也即-1.79E+308 ~ +1.79E+308。

（3）float和double的精度(有效位数)是由尾数的位数来决定的。浮点数在内存中是按科学计数法来存储的，其整数部分始终是一个隐含着的“1”，由于它是不变的，故不能对精度造成影响。
float：2^23 = 8388608，共七位，意味着最多能有7位有效数字，但绝对能保证的为6位，也即float的精度为6~7位有效数字；
double：2^52 = 4503599627370496，一共16位，同理，double的精度为15~16位。

 

2.C/C++对于浮点数的内存存储

对于浮点类型的数据采用 单精度类型（float）占用32bit / 双精度类型(double)占用64bit,我们在声明一个变量float f= 8.25f的时候，它是如何分配内存的呢？其实不论是float还是double在存储方式上都是遵从IEEE的规范的，float遵从的是IEEE R32.24 ,而double 遵从的是R64.53。

         无论是单精度还是双精度在存储中都分为三个部分(详见下图)：
        1. 符号位: 0代表正，1代表为负
        2. 指数位: 用于存储科学计数法中的指数数据，并且采用移位存储
        3. 尾数部分：尾数部分

R32.24和R64.53的存储方式都是用科学计数法来存储数据的，比如8.25用十进制的科学计数法表示就为:8.25*10e0, 而120.5可以表示为:1.205*10e2 。但计算机根本不认识十进制数据，它只认识0/1，所以在计算机存储中，首先要将上面的数更改为二进制的科学计数法表示。

按照IEEE浮点数表示法，下面将把double型浮点数8.25转换为二进制代码。

把整数部和小数部分开处理:

①整数部分直接化二进制：1000(b)     //8(d)

②小数部分处理:

小数转换为二进制的方法：小数部分乘以2，取整数部分依次从左往右放在小数点后，直至小数点后为0。
       0.25 * 2 = 0.50 ... 0  //本例
       0.50 * 2 = 1.00 ... 1   //本例

/附加

小数转换为二进制的方法：小数部分乘以2，取整数部分依次从左往右放在小数点后，直至小数点后为0。
       0.91 * 2 = 1.82 ... 1
       0.82 * 2 = 1.64 ... 1
       0.64 * 2 = 1.28 ... 1
       0.28 * 2 = 0.56 ... 0
       0.56 * 2 = 1.12 ... 1
       0.12 * 2 = 0.24 ... 0
       0.24 * 2 = 0.48 ... 0
       0.48 * 2 = 0.96 ... 0
       0.96 * 2 = 1.92 ... 1
       0.92 * 2 = 1.84 ... 1
       0.84 * 2 = 1.68 ... 1
       0.68 * 2 = 1.36 ... 1
       0.36 * 2 = 0.72 ... 0
       0.72 * 2 = 1.44 ... 1
       0.44 * 2 = 0.88 ... 0
       0.88 * 2 = 1.76 ... 1
       0.76 * 2 = 1.52 ... 1
       0.52 * 2 = 1.04 ... 1
       0.04 * 2 = 0.08 ... 0
       0.08 * 2 = 0.16 ... 0
       0.16 * 2 = 0.32 ... 0       

/附加

 

所以直到加上前面的整数部分(1000 . 不要1，算3位，余下需凑够20位，隐藏位技术：最高位的1不写入内存)算够23位(尾数部分23位)就行了。

如果你够耐心，手工算到23位那么因该是：

8.25(d)=1000 . 01000000000000000000(b)     //(整数部分(1000 . 不要1))

120.5(d)=1111000 . 10000000000000000(b)    //(整数部分(1111000 . 不要1))

 

用二进制的科学计数法表示：

1000 . 01000000000000000000可以表示为1 .  00001000000000000000000 * 2e3,

1111000 . 10000000000000000可以表示为1 . 11100010000000000000000 * 2e6,

float有23bit的尾数部分，2^23=8388608，7位数表示不全，但能使float能精确到小数点后6位。

对于指数部分，因为指数可正可负，8位的指数位能表示的指数范围就应该为:-127-128，所以指数部分采用移位存储，存储的数据为元数据+127(double型则+1023)。

 

下面就看看8.25在内存中真正的存储方式:

0            10000010                        00001000000000000000000

符号位    127+3=130(指数部分)             尾数部分

 

下面就看看120.5在内存中真正的存储方式:

0             10000101                      11100010000000000000000

符号位    127+6=133(指数部分)             尾数部分

 

 

3.将一个float型转化为内存存储格式的步骤为：

     （1）先将这个实数的绝对值化为二进制格式。 
     （2）将这个二进制格式实数的小数点左移或右移n位，直到小数点移动到第一个有效数字的右边。 
     （3）从小数点右边第一位开始数出二十三位数字放入第22到第0位。 
     （4）如果实数是正的，则在第31位放入“0”，否则放入“1”。 
     （5）如果n是左移得到的，说明指数是正的，第30位放入“1”。如果n是右移得到的或n=0，则第30位放入“0”。 
     （6）如果n是左移得到的，则将n减去1后化为二进制，并在左边加“0”补足七位，放入第29到第23位。如果n是右移得到的或n=0，则将n化为二进制后在左边加“0”补足七位，再各位求反，再放入第29到第23位。

举例：01101.1100011101 ----->1.1011100011101*(2^11)  则1011100011101存进尾数部分，11存进指数部分。

将一个内存存储的float二进制格式转化为十进制的步骤： 
  （1）将第22位到第0位的二进制数写出来，在最左边补一位“1”，得到二十四位有效数字。将小数点点在最左边那个“1”的右边。 
  （2）取出第29到第23位所表示的值n。当30位是“0”时将n各位求反。当30位是“1”时将n增1。 
  （3）将小数点左移n位（当30位是“0”时）或右移n位（当30位是“1”时），得到一个二进制表示的实数。 
  （4）将这个二进制实数化为十进制，并根据第31位是“0”还是“1”加上正号或负号即可。

 

4、为什么float从第7位开始失效？

举个例子，float ia=12345678.5;

按照前面的方法，用二进制分别表示整数部分和小数部分：101111000110000101001110 . 1

指数部分：小数点需左移23位变为：1 . 011110001100001010011101；//127+23=150

小数部分：011110001100001010011101，共有24位(不算小数点)，但实际存储规定尾数部分(小数部分)只能存储23位。故将导致从第7位开始数字精度丢失。

 

参考网址：

https://blog.youkuaiyun.com/tom739/article/details/103577435

https://blog.youkuaiyun.com/sinat_38972110/article/details/82117072

https://www.cnblogs.com/little-white/archive/2013/08/04/3236493.html

https://blog.youkuaiyun.com/sunweiliang/article/details/82622038