阿里巴巴2013笔试最后一题解答

题目描述:一个淘宝金冠卖家有n个仓库，每个仓库存储量不同，他想通过搬运使得所有仓库存储量相等，n个仓库形成环状，搬运只在相邻仓库间发生，请设计高效算法达到卖家的目的，并且使得总搬运量最低。

分析：设每个仓库库存为a[i],第i个仓库搬给其右边的仓库x[i]个。m为最后每个仓库库存。可有方程
m = a1 - x1 + x2
= a2 - x2 + x3
=﹉
= an - xn + x1
x2 = m - a1 + x1 = x1 - c1
x3 = m - a2 + x2 = x1 - c1 + m - a2 = x1 - c2
x4 = x1 - c4
…
xn = x1 - cn
问题为求出x数组使得所有元素之和最小，只要求出x1即可。ci为已知，所以问题可转化为数轴上n个点ci，求出一点使得其到各个点的距离之和最短。可以证明所有点的中间点即为最解。简单证明如下:
设最解点为k,如果k不是最中间点，则必然其两边有的点数不同，不妨设右边点数多于左边，为了更具体，不妨设左边有2个点，右边有3个点，现在使k向右移动d个单位，则左边所有点到k的总距离将增加2d个单位，而右边减少3d个单位，总距离减少d个单位，显然k不是最优解，当k右移至中间点时，此时无论左移或右移都会增加总距离，故中间点为最优解。
以上证明并不严谨，但足以说明最优解。
程序如下

int foo(int a[]){
for(i : 0——n)
sum += ai;
m= sum / n;
c0=a1 - m;
for(i:1——n)
ci = c[i-1] + ai - m;
sort(c, c+n);
x0 = c[n/2];
sum = x0;
for(i:1——n){
xi = x0 - ci;
sum += xi;
}
return sum;
}

时间复杂度o(nlogn).，若有朋友发现错误，欢迎指正，共同学习。