【算法】-前缀和与差分_区间 [i, j] 中比两端大的元素的个数-优快云博客

int* runningSum(int* nums, int numsSize, int* returnSize){
    int* preSum = malloc(sizeof(int) * numsSize);
    *returnSize = numsSize;
    for (int i = 0; i < numsSize; ++i) {
        int sum = 0;
        for (int j = 0; j <= i; ++j) {
            sum += nums[j];
        }
        preSum[i] = sum;
    }
    return preSum;
}

两重循环的时间复杂度是 O(n*2)，效率比较低。

其实我们只要稍微转变一下思路，就发现没必要用两重循环。 当已经求出 runningSum[i] = sum(nums[0]…nums[i])， 那么 runningSum[i + 1] = sum(nums[0]…nums[i]) + nums[i + 1] = runningSum[i] + nums[i + 1]。

int* runningSum(int* nums, int numsSize, int* returnSize){
    int* preSum = malloc(sizeof(int) * numsSize);
    *returnSize = numsSize;
    for (int i = 0; i < numsSize; ++i) {
        if (i == 0) {
            preSum[i] = nums[i];
        } else {
            preSum[i] = preSum[i - 1] + nums[i]; 
        }
    }
    return preSum;
}

前缀和是什么

通过上面的内容，很容易理解preSum 数组其实就是「前缀和」。

「前缀和」是从 nums 数组中的第 0 位置开始累加，到第 i 位置的累加结果，我们常把这个结果保存到数组 preSum 中，记为 preSum[i]。

在前面计算「前缀和」的代码中，计算公式为 preSum[i] = preSum[i - 1] + nums[i] ，为了防止当 i = 0 的时候数组越界，所以加了个 if (i == 0) 的判断，即 i == 0 时让 preSum[i] = nums[i]。

在其他常见的写法中，为了省去这个 if 判断，我们常常把「前缀和」数组 preSum 的长度定义为原数组长度+1。preSum 的第 0 个位置，相当于一个占位符，置为 0。那么就可以把 preSum 的公式统一为 preSum[i] = preSum[i - 1] + nums[i - 1]，此时的 preSum[i] 表示 nums 中 iii 元素左边所有元素之和（不包含当前元素 iii）。

下面以 [1, 12, -5, -6, 50, 3] 为例，用动图讲解一下如何求 preSum。

1614561004-TEQwGZ-303，preSum.gif

上图表示：

preSum[0] = 0;
preSum[1] = preSum[0] + nums[0];
preSum[2] = preSum[1] + nums[1];
...

前缀和有什么用

用途一：求数组前 i 个数之和

求数组前 i 个数之和，是「前缀和」数组的定义，所以是最基本的用法。

如果要求 nums 数组中的前 2 个数的和（即 sum(nums[0], nums[1])），直接返回 preSum[2] 即可。同理，如果要求 nums 数组中所有元素的和（即 sum(nums[0]..nums[length−1])），直接返回 preSum[length] 即可。

用途二：求数组的区间和

利用 preSum 数组，可以在 O(1) 的时间内快速求出 nums 任意区间 [i,j]（两端都包含）内的所有元素之和。

公式为： sum(i ,j) = preSum[j+1] − preSum[i];

其实就是消除公共部分即 0~i-1 部分的和，那么就能得到 i~j 部分的区间和。注意上面的式子中，使用的是 preSum[j + 1] 和 preSum[i]。

preSum[j + 1] 表示的是 nums 数组中 [0,j] 的所有数字之和（包含 0 和 j）。
preSum[i] 表示的是 nums 数组中 [0,i−1] 的所有数字之和（包含 0 和 i−1）。
当两者相减时，结果留下了 nums 数组中 [i,j] 的所有数字之和。

接下来我们以 643. 子数组最大平均数 I 为例，这个题目要求数组nums中所有长度为k的连续子数组中的最大的平均数。

这个题可以用「前缀和」来解决，也可以用固定大小为 k 的「滑动窗口」来解决。

要求大小为 k 的窗口内的最大平均数，可以求 [i, i + k] 区间的最大「和」再除以 k，即要求 (preSum[i] - preSum[i - k]) / k 的最大值。

总之，如果题目要求「区间和」的时候，那么就可以考虑使用「前缀和」。

double findMaxAverage(int* nums, int numsSize, int k) {
    double preSum[numsSize + 1];
    preSum[0] = 0;
    double max = INT_MIN; 
    for (int i = 1; i <= numsSize; ++i) { 
        preSum[i] = preSum[i - 1] + nums[i - 1];
        if(i - k >= 0