一些运动学公式

本文深入探讨了编程中常用的数学转换、坐标操作、物理运动模拟、碰撞检测等核心技巧,并详细解析了动量守恒、摩擦力应用、简单缓动与弹性运动、3D坐标变换与距离计算等高级概念。

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弧度转换为角度以及角度转换为弧度:

弧度 = 角度 * Math.PI / 180

角度 = 弧度 * 180 / Math.PI


向鼠标(或者任何一个点)旋转:
// 用要旋转到的 x, y 坐标替换 mouseX, mouseY
dx = mouseX - sprite.x;
dy = mouseY - sprite.y;
sprite.rotation = Math.atan2(dy, dx) * 180 / Math.PI;


获得两点间的距离:
// x1, y1 和 x2, y2 是两个点
dx = x2 – x1;
dy = y2 – y1;
dist = Math.sqrt(dx*dx + dy*dy);


颜色组合:
color24 = red << 16 | green << 8 | blue;
color32 = alpha << 24 | red << 16 | green << 8 | blue;


颜色提取:
red = color24 >> 16;
green = color24 >> 8 & 0xFF;
blue = color24 & 0xFF;

alpha = color32 >> 24;
red = color32 >> 16 & 0xFF;
green = color32 >> 8 & 0xFF;
blue = color32 & 0xFF;


穿过某点绘制曲线:
// xt, yt 是我们想要穿过的一点
// x0, y0 以及 x2, y2 是曲线的两端
x1 = xt * 2 – (x0 + x2) / 2;
y1 = yt * 2 – (y0 + y2) / 2;
moveTo(x0, y0);
curveTo(x1, y1, x2, y2);


角速度转换为 x, y 速度:
vx = speed * Math.cos(angle);
vy = speed * Math.sin(angle);


角加速度(作用于物体上的 force)转换为 x, y 加速度:
ax = force * Math.cos(angle);
ay = force * Math.sin(angle);


移除出界对象:
if(sprite.x - sprite.width / 2 > right ||

sprite.x + sprite.width / 2 < left ||
sprite.y – sprite.height / 2 > bottom ||
sprite.y + sprite.height / 2 < top)
{

//todo

}



重置出界对象:
if(sprite.x - sprite.width / 2 > right ||
sprite.x + sprite.width / 2 < left ||
sprite.y – sprite.height / 2 > bottom ||
sprite.y + sprite.height / 2 < top)
{
// 重置影片的位置和速度
}


屏幕环绕出界对象:
if(sprite.x - sprite.width / 2 > right)
{
sprite.x = left - sprite.width / 2;
}
else if(sprite.x + sprite.width / 2 < left)
{
sprite.x = right + sprite.width / 2;
}
if(sprite.y – sprite.height / 2 > bottom)
{
sprite.y = top – sprite.height / 2;
}
else if(sprite.y + sprite.height / 2 < top)
{
sprite.y = bottom + sprite.height / 2;
}


摩擦力应用(正确方法):
speed = Math.sqrt(vx * vx + vy * vy);
angle = Math.atan2(vy, vx);
if(speed > friction)
{
speed -= friction;
}
else
{
speed = 0;
}
vx = Math.cos(angle) * speed;
vy = Math.sin(angle) * speed;

摩擦力应用(简便方法):
vx *= friction;
vy *= friction;


简单缓动运动,长形:
var dx:Number = targetX - sprite.x;
var dy:Number = targetY - sprite.y;
vx = dx * easing;
vy = dy * easing;
sprite.x += vx;
sprite.y += vy;


简单弹性运动,长形:
var ax:Number = (targetX - sprite.x) * spring;
var ay:Number = (targetY - sprite.y) * spring;
vx += ax;
vy += ay;
vx *= friction;
vy *= friction;
sprite.x += vx;
sprite.y += vy;


偏移弹性运动:
var dx:Number = sprite.x - fixedX;
var dy:Number = sprite.y - fixedY;
var angle:Number = Math.atan2(dy, dx);
var targetX:Number = fixedX + Math.cos(angle) * springLength;
var targetY:Number = fixedX + Math.sin(angle) * springLength;


距离碰撞检测:
// 从影片 spriteA 和 spriteB 开始
// 如果使用一个空白影片,或影片没有半径(radius)属性
// 可以用宽度或高度除以 2。
var dx:Number = spriteB.x - spriteA.x;
var dy:Number = spriteB.y - spriteA.y;
var dist:Number = Math.sqrt(dx * dx + dy * dy);
if(dist < spriteA.radius + spriteB.radius)
{
// 处理碰撞
}


多物体碰撞检测:
var numObjects:uint = 10;
for(var i:uint = 0; i < numObjects - 1; i++)
{
// 使用变量 i 提取引用
var objectA = objects[i];
for(var j:uint = i+1; j
{
// // 使用变量 j 提取引用

var objectB = objects[j];
// perform collision detection
// between objectA and objectB
}
}


坐标旋转:
x1 = Math.cos(angle) * x - Math.sin(angle) * y;
y1 = Math.cos(angle) * y + Math.sin(angle) * x;


反坐标旋转:
x1 = Math.cos(angle) * x + Math.sin(angle) * ;y
y1 = Math.cos(angle) * y - Math.sin(angle) * x;


动量守恒的数学表达式:
(m0 – m1) * v0 + 2 * m1 * v1
v0Final = ----------------------------------------------
m0 + m1
(m1 – m0) * v1 + 2 * m0 * v0
v1Final = ---------------------------------------------
m0 + m1
动量守恒的 ActionScript 表达式,短形:
var vxTotal:Number = vx0 - vx1;
vx0 = ((ball0.mass - ball1.mass) * vx0 +
2 * ball1.mass * vx1) /
(ball0.mass + ball1.mass);
vx1 = vxTotal + vx0;


引力的一般公式:
force = G * m1 * m2 / distance2


基本透视法:
scale = fl / (fl + zpos);
sprite.scaleX = sprite.scaleY = scale;
sprite.alpha = scale; // 可选
sprite.x = vanishingPointX + xpos * scale;
sprite.y = vanishingPointY + ypos * scale;


Z 排序:
// 假设有一个带有 zpos 属性的 3D 物体的数组
objectArray.sortOn("zpos", Array.DESCENDING | Array.NUMERIC);
for(var i:uint = 0; i < numObjects; i++)
{
setChildIndex(objectArray[i], i);
}


坐标旋转:
x1 = cos(angleZ) * xpos - sin(angleZ) * ypos;
y1 = cos(angleZ) * ypos + sin(angleZ) * xpos;
x1 = cos(angleY) * xpos - sin(angleY) * zpos;
z1 = cos(angleY) * zpos + sin(angleY) * xpos;
y1 = cos(angleX) * ypos - sin(angleX) * zpos;
z1 = cos(angleX) * zpos + sin(angleX) * ypos;


3D 距离:
dist = Math.sqrt(dx * dx + dy * dy + dz * dz);



### 并联平台逆运动学公式及其计算方法 #### 坐标系定义与模型建立 对于并联平台,特别是Delta机器人而言,逆运动学的核心在于通过已知的末端执行器位置 (x, y, z),其中 \(z<0\) 来求解三个主动臂的角度 \(\theta_i(i=1,2,3)\)[^1]。这涉及到一系列几何关系的应用以及特定坐标系统的设定。 #### 几何约束条件 考虑到Delta机器人的结构特点——由固定基座和平移台面组成,并通过三条连杆连接两者;每条连杆的一端安装在一个固定的球铰上而另一端则位于移动平台上相应的滑槽内。基于此设计原理,可以得出如下几个重要的几何约束: - 连接点之间的距离保持不变; - 移动平台中心至各关节连线长度相等; - 各支链形成的三角形形状相似且大小成比例变化。 上述特性有助于构建精确描述系统行为的数学表达式。 #### 数学建模过程 具体来说,假设已知目标位姿,则可通过以下步骤完成逆向解析: 1. **确定参考框架**:选取适当的世界坐标系作为参照物来表示所有物理量。 2. **应用余弦定律**:利用该法则处理非直角三角形中的边长和夹角间的关系,从而建立起关于未知变量\(\theta_i\) 的方程组。 3. **引入辅助参数**:有时为了简化问题复杂度会引入一些中间变量帮助转换原始数据形式以便更好地解决问题。 4. **求根算法实现**:最终采用数值法或代数手段对方程式进行求解获得所需的结果集。 值得注意的是,在某些特殊情形下可能还会遇到多值解或多解情况,此时需结合实际情况筛选合理答案。 ```matlab % MATLAB伪代码示例用于展示如何编程解决此类问题 function theta = delta_inverse_kinematics(x, y, z) % 定义常量和其他必要初始化操作... % 应用几何关系形成方程体系 % 使用fsolve或其他优化工具寻找满足条件的最佳θ值组合 end ```
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