概率论：中心极限定理、马尔科夫不等式、切比雪夫不等式、大数定理

一、中心极限定理

1.1 独立同分布的中心极限定理

1.1.1 定理

$设X_1,X_2,...,X_n为相互独立、服从同一分布的随机变量序列，且E(X_i)=\mu ,D(X_i)={\sigma }^2\ne 0(i=1,2,...n)，则对于任意x，有：$

${\lim }_{n\to \infty }P\left\{\begin{array}{c}\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }\le x\end{array}\right\}={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt=\Phi (x)（1.1）$

该定理通常被称为林德伯格-莱维（Lindeberg-Levy）定理。

来看下上面定理的含义：
若记：

$Y_n=\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }$

记$F_{Y_n}(x)$为$Y_n$的分布函数，则1.1式可以写成：

$li{m}_{n\to \infty }{F}_{Y_n}(x)=\Phi (x)$

这表明，当充分大时，$Y_n$近似服从正态分布$N(0,1)$，即：

$\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }\backsim N($