kinglyjn的博客

学习数学的最佳方式就是动手做数学。—— 伊万·尼文（Ivan Niven）都是整数，而由第一步我们已经证明。（可通过作比，证明级数收敛）的选取应该都无关，现选取。不是有理数，采用反证法。的性质，最后一项为 0。是一个整数相矛盾，假设。但这个结果与上述得出的。是两个互质的自然数，

希尔伯特旅馆（Hilbert’s Hotel）是德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）于1924年提出的著名思想实验，用以阐明无限集合的反直觉性质。这个悖论揭示了可数无限集合的一个惊人特性：部分可以等于整体。在有限世界中，"客满"意味着无法容纳更多客人；但在无限的领域，"客满"的旅馆却总能为新客人腾出空间。情况一：接待一位新客人旅馆拥有可数无限个房间（编号为 1, 2, 3, 4, …），且每个房间都已住满。此时来了一位新客人请求入住。直觉上，旅馆已经“满员”，无法再接待新客人。

需要澄清实数的稠密性（Density）和完备性（Completeness）不是一回事，它们描述的是数轴两个完全不同的维度。比如有理数虽然是“稠密”的，但这并不意味着它们之间没有“洞”！稠密性：数与数之间“挤不挤”定义：如果一个集合SSS在实数中是稠密的，意味着在任意两个不相等的实数之间，总能找到SSS中的元素。挤”并不代表“满”。稠密性只保证了数轴上到处都有点，但不能保证这些点连成了线。有理数在实数中稠密：对于任意两个不同的实数aba < bab，之间必存在有理数。

拉格朗日连分数定理的证明，从充分性和必要性两个方面，说明最终周期的连分数和二次无理数的等价性

实数的小数表示法和连分数表示法，从小数和连分数的角度考察实数的大致结构。