第5章 特征值和特征向量 第5章 特征值和特征向量背景——二次型一、概念二、性质——使命是==矩阵对角化==三、矩阵对角化过程题型 第5章 特征值和特征向量 背景——二次型 二次型 1.标准二次型 只有平方项 2.非标准二次型 平方项+交叉项 3.二次型的标准化/矩阵对角化 一、概念 概念 1.特征值与特征向量 1.α怎么求 2.λ对应的α怎么求 2.特征方程 1.λ不一定实 2.特征值的和为迹/积为行列式 3.秩=n—特征值均不为0;秩小于n—存在特征值为0 特征向量即非零解 3.矩阵相似 1.性质 2.秩相等 3.特征值相同 4.转置及一元n次方程式相似;可逆-相似（逆阵和伴随） 5.迹相等+行列式相等 二、性质——使命是矩阵对角化 性质 实对称矩阵 (一).一般性质 1.堆成一堆线性无关 2.Aα=λ0α 1.f(A)α=f(λ0)α 2.A、A的逆阵、A的伴随之间特征值与特征向量的关系 3.可对角化=有n个线性无关的特征向量 (二).对于实对称矩阵 1.特征值都实 2.不同特征值对应的特征向量正交 3.一定能对角化 三、矩阵对角化过程 正交 1.向量正交 1.定义 2.性质 3.正交化过程=正交化+规范化 2.正交矩阵 1.定义 2.等价条件-直接规范化 3.性质3 对角化过程 (一).非实对称矩阵 1.求特征值 2.求特征向量 3.可对角化=有n个线性无关的特征向量 (二).实对称矩阵 1.求特征值 2.求特征向量-不同特征值对应的特征向量正交 3.找可逆阵P+正交阵Q 题型 题型 型一.性质 型二.λ求法 1.公式法-针对具体A 2.定义法-给f(A)或AB=C 3.关联法-A、A的逆阵、A的伴随+与A相似的B 型三.矩阵对角化判断 1.先看对称 2.再看特征值
本章深入探讨特征值和特征向量的概念，重点解析它们如何使矩阵对角化，详细阐述矩阵对角化的过程，并提供相关题型进行练习。
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