递推典型算法：猴子爬山，跳台阶，爬楼梯(牛客网)、魔法深渊(快手)----Python、Java

最新推荐文章于 2024-08-08 15:34:11 发布

原创最新推荐文章于 2024-08-08 15:34:11 发布 · 9.7k 阅读

22 ·

CC 4.0 BY-SA版权

数据结构算法专栏收录该内容

10 篇文章

订阅专栏

本文介绍了递推算法的概念，通过猴子爬山问题和快手校招题——魔法深渊为例，阐述了如何利用递推关系解决问题。猴子爬山问题中，猴子上山的30级台阶有多种不同的爬法，通过递推公式f(k) = f(k-1)+f(k-3) (k>3)来解决。魔法深渊问题要求月神以2的整数次幂阶数爬出深渊，同样可以建立递推关系进行求解，并给出了Java实现代码。

递推算法的基本思想是把一个复杂的、庞大的计算过程转化为简单过程的多次重复，其首要问题是得到相邻的数据项之间的关系，即递推关系。以猴子爬山为例。

1.问题的提出

一个顽猴在一座有30级太假的小山上爬山活跃，猴子上一步可跳1级或者3级，试求上山的30级台阶有多少种不同的爬法

2.简单递推设计

这一问题实际上是一个整数有序可重复拆分的问题。试应用数组递推求解，设爬k级台阶的不同爬法为f(k)种。

探求f(k)的递推关系

上山最后一步到达第30级台阶，完成上山，共有f(30)种不同的爬法，到第30级之前位于哪一级呢？无非就是位于第29级(上跳1级即可到)，有f(29)种；或者位于第27级(上跳3级即可到)，有f(27)种；于是f(30)=f(29)+f(27)

依次类推，有以下递推关系：

f(k) = f(k-1)+f(k-3) (k>3)

确定初始条件

f(1) = 1

f(2) = 1

f(3) = 2

3.递推描述

n = int(input())      #总共需要到达的台阶数
result = []
if(n==1):
    print(1)
elif(n==2):
    print(1)
elif(n=3):
    print(2)
else:
    result.append(0)
    result.append(1)
    result.append(1)
    result.append(2)
    for i in range(4,n+1):
        result.append(result[i-1]+result[i-3])
    print(result.pop())

以上是一般爬楼梯的形式，也有很多以上面这种改编的题目，比如今天刷到的快手的校招题--魔法深渊：已知深渊有N层台阶构成（1 <= N <= 1000)，并且每次月神仅可往上爬2的整数次幂个台阶(1、2、4、....)，请你编程告诉月神，月神有多少种方法爬出深渊。链接：https://www.nowcoder.com/practice/55e34723b1d34c42af83b39de2395408tpId=98&tqId=32842&tPage=1&rp=1&ru=/ta/2019test&qru=/ta/2019test/question-ranking

我们建立递推关系：

$f(k) = f(k-2^0)+f(k-2^1)+f(k-2^2)+...+f(k-2^i)$ ，其中 $(k-2^i>0)$ 。感觉和上面基础版的题目是一个套路，以下是Java实现的代码：

import java.util.Scanner;

public class Main {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int M = sc.nextInt();
		int[] d = new int[M];
		for(int i=0;i<M;i++)
			d[i] = sc.nextInt();
		for(int i=0;i<M;i++) {
			System.out.println(put(d[i]));
		}
	}
	public static long put(int n) {
		if(n==1) {
			return 1%((int) Math.pow(10, 9)+3);
		} else if(n==2) {
			return 2%((int) Math.pow(10, 9)+3);
		} else if(n==3) {
			return 3%((int) Math.pow(10, 9)+3);
		}  //上面这些都是初始条件
		else {
			long[] dp = new long[n+1];
			dp[0] = 1;
			dp[1] = 1;
			dp[2] = 2;
			dp[3] = 3;
			for(int i=4;i<=n;i++) {   //从这里开始建立递推关系
				int k=0;
				int j=(int) (i-Math.pow(2, k));
				while(j>=0) {
					dp[i]+=(dp[j]%(Math.pow(10, 9)+3));				
					k+=1;
					j=(int) (i-Math.pow(2, k));
				}
			}
			return (long) (dp[n]%(Math.pow(10, 9)+3));
		}
	}
}