堆排序

堆的概念

通俗的说就是小顶堆本身的值小于或等于自己的任一个孩子节点（如果有孩子节点的话），这样看来，小顶堆中根节点的值是所有元素中最小的。大顶堆则刚好相反。

堆节点的访问

通常堆是通过一维数组来实现的。在数组起始位置为0的情形中：

• 父节点i的左子节点在位置(2*i+1);
• 父节点i的右子节点在位置(2*i+2);
• 子节点i的父节点在位置floor((i-1)/2);

以下为上图中的大顶堆在一维数组中的的存储情况。

80	60	16	50	45	10	15	30	40	20

堆排序基本思想

根据堆的定义可以知道k[0]就是所有元素中最大的一个，把它与k[n-1]交换，变成下表的形式：

20	60	16	50	45	10	15	30	40	80

现在k[n-1]是最大的，它的位置就已经定下来了，再将K[0…n-2]调整为新的堆，如下：

60	50	16	40	45	10	15	30	20	80

接着把k[0]与k[n-2]交换，再将K[0…n-3]调整为新的堆。
重复这样的操作，直到k[0]与k[1]交换，完成排序。

现在就有两个问题，
第一个就是怎么样将一个初始序列建成堆的形式。
第二个就是删除根节点后，怎么将剩下的元素调整为新的堆。

初建堆

假设有数组如下：

1	3	4	5	7	2	6	8	0

---

将5和8,4和6交换位置之后，调整3的位置。

最后调整1的位置

这样就完成了建造大顶堆的过程。

删除根节点

以上为删除根节点的示意图，再将根节点删除之后，需要把堆的最后一个节点升为新的根节点，然后再对根节点进行位置调整，调整步骤同前面讲的步骤一样。
这也为什么进行排序时要将第一个元素和最后一个元素交换位置，这正好符合删除根节点的过程，这样就不必再重新创建一个数组来依次保存删除的元素。

c++实现

template<typename Type>
void max_heapify(vector<Type> & a, int start, int end) 
{
    int dad = start;
    int son = dad * 2 + 1;
    while (son < end) 
    { 
        if (son + 1 < end && a[son] < a[son + 1]) //先比较两个子节点的大小，选择较大的
        {
            son++;
        }
        if (a[dad] > a[son]) //如果父节点大于较大的子节点，则不需要调整
        {
            return;
        }
        else 
        { //否则交换位置，再继续子节点与孙节点的比较
            swap(a[dad], a[son]);
            dad = son;
            son = dad * 2 + 1;
        }
    }
}

template<typename Type>
void heap_sort(vector<Type> & a, int n) 
{
    //初始化，i从最后一个非叶子节点开始
    for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; --i)
    {//建造大顶堆
        max_heapify(a, i, n);
    }
    for (int i = n - 1; i > 0; --i) 
    {//先将第一个元素和已经排好元素的前一位做交换（第一次交换时，和最后一个元素交换，交换完毕后，最后一位就是已排好的元素），
     //再重新调整（刚调整的元素之前的元素），直到排序完毕。
        swap(a[0], a[i]);
        max_heapify(a, 0, i);
    }
}