博弈的三个巨人 巴什博奕 威佐夫博奕 尼姆博奕

博客背景：在最早接触博弈的是培训课和学长来博弈，是巴什博弈，呵呵，感觉挺有趣的，以后就找个朋友耍他或者她，嘿嘿，AC之余还可以把妹，何乐而不为呢？凭什么咱们就得一直苦逼呢？嘿嘿~~闲话休提，进入正题

 

 

博客正容：【一】（先来苦涩的理论）

（一）巴什博奕（Bash Game）：只有一堆n 个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，
规定每次至少取一个，最多取m 个。最后取光者得胜。
显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m 个，所以，无论先取者拿走多少个，
后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=
（m+1）r+s，（r 为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s 个物品，如果后取者拿走k（≤m)
个，那么先取者再拿走m+1k
个，结果剩下（m+1）（r1）
个，以后保持这样的取法，那么
先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。
这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，
谁能报到100 者胜。
（二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同
时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品
的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。
前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、
（12，20）。
可以看出,a0=b0=0,ak 是未在前面出现过的最小自然数,而bk= ak + k，奇异局势有如下
三条性质：
1、任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
由于ak 是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak1
，而bk= ak + k > ak1
+ k1
=
bk1
> ak1
。所以性质1。成立。
2、任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇
异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由于其差不
变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。
3、采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。
假设面对的局势是（a,b），若b = a，则同时从两堆中取走a 个物体，就变为了奇异局
势（0，0）；如果a = ak ，b > bk，那么，取走b bk
个物体，即变为奇异局势；如果a = ak ，b <
bk ,则同时从两堆中拿走ak ab
ak
个物体,变为奇异局势（ ab ak
, ab ak+
b ak）；
如果a
> a