线性代数知识归纳1

线性相关 线性无关

有一组向量集合
$$\left\{\begin{array}{cccc}\overrightarrow{v_1}& \overrightarrow{v_2}& \cdots & \overrightarrow{v_n}\end{array}\right\}$$
对于等式( c是常数)
$$c_1\overrightarrow{v_1}+c_2\overrightarrow{v_2}+\cdots +c_1\overrightarrow{v_n}=\vec{0}$$

如果使等式成立的唯一方式是令所有常数c都为0的话，
那么该集合就是线性无关。否则就是线性相关(也就是至少有一个c不为0,等式也能成立)。

线性子空间

对于线性子空间V，满足以下条件：

1.满足数乘封闭性,V内任意向量乘以任意标量仍然在V内(所以V肯定包含$\vec{0}$)
2.满足加法封闭性，V内任意两向量相加得到的向量仍然在V内

例子1：

S = { [ x 1 x 2 ] ∈ R 2 ∣ x 1 ≥ 0 } S = \{\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\end{bmatrix} \in R^2 | x_1 \ge 0\} S={[x1​x2​​]∈R2∣x1​≥0}是子空间吗？

对于数乘封闭性：当x1是正数，$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$乘以负数的话，x1会变成负数，不符合$x_1\ge 0$，所以它不满足数乘封闭性
对于加法封闭性：针对x1，满足两个$\ge 0$的数相加还是$\ge 0$

子空间的基(basis)

Basis就是生成这个空间的最小的向量集(这不是一个严格定义)
判断某组向量集是否是basis，用线性无关来判断，如果是线性无关，那么这组向量集就是这个子空间的一组基
$$c_1\overrightarrow{v_1}+c_2\overrightarrow{v_2}+\cdots +c_1\overrightarrow{v_n}=\vec{0}$$
满足当且仅当全部c都是0，这个等式才能成立。 也就如果所有c都能求出唯一的值，就是全都是0

向量的点积和模长

$\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ \cdots \\ a_n\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ \cdots \\ b_n\end{array}\right]=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$

向量自身长度(length)

$\Vert \vec{a}\Vert =\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+...+{a_n}^2}$

点积和length的关系:向量长度的平方=向量自身的点积

$$\begin{gathered} \vec{a}\cdot \vec{a} \\ =\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ \cdots \\ a_n\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ \cdots \\ a_n\end{array}\right] \\ =a_1{a}_1+a_2{a}_2+\cdots +a_n{a}_n \\ ={a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_n}^2 \\ =(\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+...+{a_n}^2}{)}^2 \\ =\Vert \vec{a}{\Vert }^2 \end{gathered}$$

向量点积满足：交换律，分配律，结合律

交换律: $\vec{v}\cdot \vec{w}=\vec{w}\cdot \vec{v}$
分配律: $(\vec{v}+\vec{w})\cdot \vec{x}=\vec{v}\cdot \vec{x}+\vec{w}\cdot \vec{x}$
结合律: $(c\vec{v})\cdot \vec{w}=c(\vec{v}\cdot \vec{w})$

Cauchy-Schwarz(柯西—施瓦茨)不等式

$|\vec{x}\cdot \vec{y}|\le \Vert \vec{x}\Vert |\vec{y}\Vert$
当$\vec{x}$和$\vec{y}$共线时，$|\vec{x}\cdot \vec{y}|=\Vert \vec{x}\Vert |\vec{y}\Vert$，并且c$\vec{x}$=$\vec{y}$, c是常数

三角不等式

$\Vert \vec{x}+\vec{y}\Vert \le \Vert \vec{x}\Vert +\Vert \vec{y}\Vert$
当$\vec{x}$和$\vec{y}$共线,c$\vec{x}$=$\vec{y}$,并且c>0时,$\Vert \vec{x}+\vec{y}\Vert =\Vert \vec{x}\Vert +\Vert \vec{y}\Vert$

向量之间角度

$\vec{a}\cdot \vec{b}=\Vert \vec{a}\Vert \Vert \vec{b}\Vert cos\theta$

正交(orthogonal)与垂直

只要满足$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$, 那么称$\vec{a}$和$\vec{b}$正交。
所以有：
所有垂直的向量都是正交的。
$\vec{0}$与任何向量正交。

已知$R^3$中一平面的法向量$\left[\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right]$，平面上一点$(x_0,x_1,x_2)$，求平面方程

平面上任意向量：
$\overrightarrow{X_0}$=原点到$(x_0,x_1,x_2)$的向量=$\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ z_0\end{array}\right]$
$\vec{X}$=原点到平面上任意点的向量=$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$
那么平面上任意向量=$\vec{X}-\overrightarrow{X_0}$=$\left[\begin{array}{c}x-x_0\\ y-y_0\\ z-z_0\end{array}\right]$
然后:
$法向量\cdot 平面上任意向量=0$
$\left[\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x-x_0\\ y-y_0\\ z-z_0\end{array}\right]=n_1(x-x_0)+n_2(y-y_0)+n_3(z-z_0)=0$
最终算出来即可。

例子：

已知N=$\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ -2\end{array}\right]$ , $X_0=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$, 求平面方程.
解:

$\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ -2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x-1\\ y-2\\ z-3\end{array}\right]=1(x-1)+3(y-2)-2(z-3)=0$
…
x-1+3y-6-2z+6=0
x+3y-2z=1
这个x+3y-2z=1 就是平面方程

外积(P20)

外积只能运用在$R^3$
$\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_2{b}_3-a_3{b}_2\\ -(a_1{b}_3-a_3{b}_1)\\ a_1{b}_2-a_2{b}_1\end{array}\right]=\vec{n}$
可以通过用$\vec{n}\cdot \vec{a}=0$或者$\vec{n}\cdot \vec{b}=0$来证明。

外积的长度(P21)

$\Vert \vec{a}\times \vec{b}\Vert =\Vert \vec{a}\Vert \Vert \vec{b}\Vert sin\theta$

外积和点积的归纳

外积长度就是‖b‖乘以[a的垂直于b的分量]
这是一种测量：尤其是当你取这个的长度的时候，他是测量这两个东西的垂直程度
当夹角是90度,a和b垂直，外积长度最大化, ‖a×b‖=‖a‖‖b‖
当夹角是0度，a和b共线，外积大小等于0, ‖a×b‖=0
a和b形成的平行四边形面积=‖b‖‖a‖sinθ= ‖a×b‖=外积长度

点积就是‖b‖乘以[a在b方向上的分量]
这是一种测量：它们在相同方向上的程度
当夹角是90，a和b垂直，点积最小化 a·b =0
当夹角是0，a和b共线，点积最大化，a·b =‖a‖‖b‖

三重积展开

a×(b×c)=b(a·c)-c(a·b)
把外积计算 转化成 点积和向量数乘

法向量和平面方程的关系

已知平面方程Ax+By+Cz=D
i j k是单位向量
那么法向量$\vec{n}=A\vec{i}+B\vec{j}+C\vec{k}$

已知平面Ax+By+Cz=D,外一点P(x0, y0, z0), 求P到平面距离d

$d=\frac{A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0-D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
推导公式用到知识点:

法向量=Ai+Bj+Cz,

$cos\theta =\frac{邻边}{斜边}$,

$\vec{a}\cdot \vec{b}=\Vert \vec{a}\Vert \Vert \vec{b}\Vert cos\theta$,

$\Vert \vec{a}\Vert =\sqrt{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}$

例子：

平面：x-2y+3z=5 平面外点: (2, 3, 1) 求d？
解：
$$\begin{gathered} d=\frac{1\ast 2-2\ast 3+3\ast 1-5}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+3^2}} \\ =\frac{-6}{\sqrt{14}} \end{gathered}$$

题目：已知Ax-2y+z=d 和另外一平面，这平面由直线$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$和$\frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{5}$构成，两平面距离是$\sqrt{6}$,那么|d|是多少？

思路：
怎么求d，这里的d就是平面方程Ax+By+Cz=D的D，又已知平面距离是$\sqrt{6}$，也就是可以根据点到平面距离公式$d=\frac{A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0-D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$计算出D。
$x_0{y}_0{z}_0$是可以通过已知的两条直线里头随便找一个点得到(实际上从这两已知直线可以获得4个已知点(1,2,3), (3,5,7), (2,3,4), (5,7,9))，那么ABC呢？
ABC可以通过两已知直线得到另一平面的平面方程得到，因为这两平面一定平行，所以斜率相同，所以ABC也相等。
那么另一平面的方程怎么得到？用已知平面上一点和平面的法向量，通过平面上某向量与法向量点乘=0计算得到。
平面的法向量怎么求？用4个已知点连成的2条向量，做外积得到法向量。

矩阵行简化阶梯型(rref)

有三种结果：
每一行都有主元 =>唯一解
最后一行左边右边全是0 =>无穷解
最后一行左边全是0，右边非0=>无解

矩阵向量积

矩阵的零空间

N(A) = { x ⃗ ∣ A x = 0 ⃗ , x ∈ R n } \{\vec{x}|Ax=\vec{0}, x\in R^n\} {x ∣Ax=0 ,x∈Rn}
N(A) = N(rref(A))
如果$\vec{x}$只有唯一解$\vec{0}$, 那么A的列向量是线性无关，那么rref(A)是单位矩阵，Rank(A)=列向量数